Giải mục 2 trang 16, 17 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Lời giải cho phương trình $\sqrt{- x^{2} + x + 1} = x$ như sau đúng hai sai?

$\sqrt{- x^{2} + x + 1} = x$

$\Rightarrow - x^{2} + x + 1 = x^{2}$ (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

$\Rightarrow - 2 x^{2} + x + 1 = 0$ (chuyển vế, rút gọn)

$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và $- \frac{1}{2}$

Phương pháp giải:

Thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu ta có:

+) Thay $x = 1$ vào phương trình $\sqrt{- x^{2} + x + 1} = x$ ta thấy thảo mãn phương trình

+) Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào $\sqrt{- x^{2} + x + 1} = x$ ta thấy không thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ , suy ra lời giải như trên là sai.

Thực hành 2

Giải phương trình $\sqrt{3 x^{2} + 27 x - 41} = 2 x + 3$

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn

Bước 2: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn

Bước 3: Giải phương trình nhận được ở bước 2

Bước 4: Thử lại và kết luận

Lời giải chi tiết:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$3 x^{2} + 27 x - 41 = {(2 x + 3)}^{2}$

$\Rightarrow 3 x^{2} + 27 x - 41 = 4 x^{2} + 12 x + 9$

$\Rightarrow x^{2} - 15 x + 50 = 0$

$\Rightarrow x = 5$ và $x = 10$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt{3 x^{2} + 27 x - 41} = 2 x + 3$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$ và $x = 10$

Vận dụng

Cho tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a) $O C = 3 O A;$

b) $O C = \frac{5}{4} O B$

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý pitago để biểu diễn độ dài OC và OA qua OB

Bước 2: Lập phương trình theo giả thiết $O C = 3 O A;$ $O C = \frac{5}{4} O B$

Bước 3: Giải phương trình

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài cạnh OB là x cm $(x > 0)$

Theo giả thiết ta có $A B = B C = O B - 1 = x - 1$

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OAB và OBC ta có:

$O C = \sqrt{O B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(x - 1)}^{2}} = \sqrt{2 x^{2} - 2 x + 1}$

$O A = \sqrt{O B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{x^{2} - {(x - 1)}^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

a) $O C = 3 O A \Rightarrow \sqrt{2 x^{2} - 2 x + 1} = 3 \sqrt{2 x - 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x + 1 = 9 (2 x - 1) \\ \Rightarrow 2 x^{2} - 20 x + 10 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow$ $x = 5 - 2 \sqrt{5}$ và $x = 5 + 2 \sqrt{5}$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 2 x + 1} = 3 \sqrt{2 x - 1}$ ta thấy cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi $O B = 5 - 2 \sqrt{5}$ hoặc $O B = 5 + 2 \sqrt{5}$ thì $O C = 3 O A$

b) $O C = \frac{5}{4} O B \Rightarrow \sqrt{2 x^{2} - 2 x + 1} = \frac{5}{4} x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{25}{16} x^{2} \\ \Rightarrow \frac{7}{16} x^{2} - 2 x + 1 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{4}{7}$ hoặc $x = 4$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 2 x + 1} = \frac{5}{4} x$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi $O B = \frac{4}{7}$ hoặc $O B = 4$ (cm) thì $O C = \frac{5}{4} O B$