Giải mục 2 trang 16, 17

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính và so sánh:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx$ và $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+x\right)dx$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$;

c) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}xdx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx=x^2|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}=1$, $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx=2.\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}=1$ nên $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$.

b) Ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+x\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)|\begin{array}{c}{}^1\\ {}_0\end{array}$

$=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx=\frac{x^3}{3}|\begin{array}{c}{}^1\\ {}_0\end{array}+\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}{}^1\\ {}_0\end{array}$

$=\frac{1}{3}-0+\frac{1}{2}-0=\frac{5}{6}$.

Do đó, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$.

c) Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx=\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}=\frac{3^2}{2}-0=\frac{9}{2}$;

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}xdx=\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}+\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}$

$=\frac{1}{2}-0+\frac{3^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$.

Do đó, $\underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}xdx$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(2x+\cos x\right)dx$;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3^x-\frac{3}{x}\right)dx$;

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

+ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

+ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

+ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(2x+\cos x\right)dx$

$=2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}xdx+\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos xdx$

$=2.\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}{}^{2\pi }\\ {}_0\end{array}+\sin x|\begin{array}{c}{}^{2\pi }\\ {}_0\end{array}$

$={\left(2\pi \right)}^2-0+\sin 2\pi -\sin 0$

$=4{\pi }^2$.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3^x-\frac{3}{x}\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx-3\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx$

$=\frac{3^x}{\ln 3}|\begin{array}{c}{}^2\\ {}_1\end{array}-3\ln \left|x\right||\begin{array}{c}{}^2\\ {}_1\end{array}$

$=\frac{1}{\ln 3}\left(3^2-3^1\right)-3\ln 2+3\ln 1$

$=\frac{6}{\ln 3}-3\ln 2$.

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

$=\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=\tan x|\begin{array}{c}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_{\frac{\pi }{6}}\end{array}+\cot x|\begin{array}{c}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_{\frac{\pi }{6}}\end{array}$

$=\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{6}+\cot \frac{\pi }{3}-\cot \frac{\pi }{6}$

$=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}=0$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2x-3\right|dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ $\left(a<c<b\right)$.

Lời giải chi tiết:

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2x-3\right|dx=\underset{0}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}\left|2x-3\right|dx+\underset{\frac{3}{2}}{\overset{3}{\int }}\left|2x-3\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}\left(3-2x\right)dx+\underset{\frac{3}{2}}{\overset{3}{\int }}\left(2x-3\right)dx$

$=\left(3x-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^{\frac{3}{2}}\\ {}_0\end{array}+\left(x^2-3x\right)|\begin{array}{c}{}^3\\ {}_{\frac{3}{2}}\end{array}$

$=\left[\left(\frac{9}{2}-\frac{9}{4}\right)-0\right]+\left[\left(3^2-3.3\right)-\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right)\right]=\frac{9}{2}$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$. Giả sử nhiệt độ (tính bằng ${}^{o}C$) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số $T\left(t\right)=20+1,5\left(t-6\right),6\le t\le 12$. Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:

$\frac{1}{12-6}\underset{6}{\overset{12}{\int }}\left[20+1,5\left(t-6\right)\right]dt$

$=\frac{1}{6}\underset{6}{\overset{12}{\int }}\left(11+1,5t\right)dt=\frac{1}{6}\left(11t+\frac{3}{4}{t}^2\right)|\begin{array}{c}{}^{12}\\ {}_6\end{array}$

$=\frac{1}{6}\left[\left(11.12+\frac{3}{4}{.12}^2\right)-\left(11.6+\frac{3}{4}{.6}^2\right)\right]$

$=24,5^{o}C$.

Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là $24,5^{o}C$.