Giải mục 2 trang 17, 18

Hoạt động 2

Nếu cho b = a trong các công thức:

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b;$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b;$

$\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

thì ta thu được các công thức nào?

Phương pháp giải:

Thay b = a vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\sin \left(2a\right)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a;\\ \cos \left(2a\right)=\cos a\cos a-\sin a\sin a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a;\\ \tan \left(2a\right)=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a\tan a}=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}.\end{array}$

Luyện tập 2

a) Cho $\cos \alpha =-\frac{1}{4}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính $\sin 2\alpha$ và $\tan 2\alpha$.

b) Không dùng máy tính cầm tay, tính $\cos 112,5^0$.

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác, hệ thức giữa các góc lượng giác liên quan và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${\sin }^{2}a=1-{\cos }^{2}a=\frac{15}{16}$.

Mà $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin a=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

$\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{\sqrt{15}}{4}.\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\sqrt{15}}{8}$.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$.

$\tan 2\alpha =\frac{-2\sqrt{15}}{1-{\left(-\sqrt{15}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

b) Ta có: $\cos {225}^0=\cos \left({45}^0+{180}^0\right)=-\cos {45}^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

${\cos }^{2}112,5^0=\frac{1+\cos {225}^0}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos 112,5^0=-\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

Vận dụng 2

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm mặt đất đã di chuyển được một khoảng cách d (m) theo phương nằm ngang. Biết rằng $d=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$, trong đó $v_0$ (m/s) là vận tốc ban đầu của quả bóng, g là gia tốc trọng trường và $\theta$ là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang (nguồn: https://pressbooks.uiowa.edu/clonedbook/chapter/projectile-motion/). Tính giá trị của $\cos 2\theta$ và $\sin \theta$ khi $v_0$= 15 m/s, d = 12,5 m, g = 10 m/s² và $0^0<\theta <{45}^0$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức cơ bản giữa các góc lượng giác và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{c}d=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}\\ \iff 12,5=\frac{{15}^2.\sin 2\theta }{10}\\ \Rightarrow \sin 2\theta =\frac{5}{9}\end{array}$

Lại có: ${\cos }^{2}2\theta =1-{\sin }^{2}2\theta =\frac{56}{81}$

Mà $0^0<\theta <{45}^0\Rightarrow 0^0<2\theta <{90}^0$$\Rightarrow \cos 2\theta =\frac{2\sqrt{14}}{9}$

${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}=\frac{9-2\sqrt{14}}{18}$

Mà $0^0<\theta <{45}^0$$\Rightarrow \sin \theta =\sqrt{\frac{9-2\sqrt{14}}{18}}$