Giải mục 2 trang 21, 22

Khám phá 2

Giả sử Đ_O là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua Đ_O. So sánh tam giác OAB và tam giác O’A’B’ rồi so sánh A’B’ và AB.

Phương pháp giải:

Vẽ hình sau đó quan sát và so sánh

Lời giải chi tiết:

Theo đề, ta có ${Đ}_O\left(A\right)=A^{\prime }.$

Suy ra O là trung điểm AA’, do đó $OA=O{A}^{\prime }.$

Chứng minh tương tự, ta được $OB=O{B}^{\prime }.$

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, có:

$OA=O{A}^{\prime }$  (chứng minh trên);

$\widehat{AOB}=\widehat{A^{\prime }O{B}^{\prime }}$ (đối đỉnh);

$OB=O{B}^{\prime }$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta OAB=\Delta O{A}^{\prime }{B}^{\prime }\left(c.g.c\right).$

Suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy $\Delta OAB=\Delta O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB.$

Thực hành 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh qua Đ_O của

a) điểm M(3; –4);

b) đường thẳng d: x – 3y + 6 = 0;

c) đường tròn (C): (x + 2)² + (y – 1)² = 4.

Phương pháp giải:

Nếu $M^{\prime }={Đ}_I\left(M\right)$ thì $\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}+x_M=2x_I\\ y_{M^{\prime }}+y_M=2y_I\end{array}$ (I là trung điểm của MM’)

Lời giải chi tiết:

a) Gọi M’ là ảnh của M qua Đ_O.

Suy ra O là trung điểm của MM’ với $M\left(3;-4\right).$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}=2x_O-x_M=2.0-3=-3\\ y_{M^{\prime }}=2y_O-y_M=2.0+4=4\end{array}$

Vậy $M^{\prime }\left(-3;4\right).$

b) • Chọn $A\left(0;2\right)\in d:x-3y+6=0.$

Gọi A’là ảnh của A qua ${Đ}_O.$

Suy ra O là trung điểm của AA’ với A(0; 2)

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}=2x_O-x_A=2.0-0=0\\ y_{A^{\prime }}=2y_O-y_A=2.0-2=-2\end{array}$

Vì vậy A’(0; –2).

• Đường thẳng $d:x-3y+6=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left(1;-3\right)$

Gọi d’ là ảnh của d qua ${Đ}_O.$

Suy ra d’ song song hoặc trùng với d, nên d’ nhận vectơ pháp tuyến của d là $\vec{n}=\left(1;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(0; –2) và nhận làm vectơ $\vec{n}=\left(1;-3\right)$ pháp tuyến nên có phương trình là:

$1\left(x-0\right)-3\left(y+2\right)=0\iff x-3y-6=0.$

c) Đường tròn $\left(C\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$ có tâm I(–2; 1), bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua Đ_O nên (C’) có tâm là ảnh của I(–2; 1) và có bán kính R’ = R = 2.

Gọi I’= Đ_O(I).

Suy ra O là trung điểm $I{I}^{\prime }.$

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}_{I^{\prime }}=2x_O-x_I=2.0+2=2\\ y_{I^{\prime }}=2y_O-y_I=2.0-1=-1\end{array}$

Vì vậy tọa độ I’(2; –1).

Vậy đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua Đ_O, có tâm I’(2; –1) và R’ = 2 nên có phương trình là:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4.$

Vận dụng 2

Trong Hình 6, tìm các số ghi tại điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 6 để tìm

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm bia.

• Lấy điểm A nằm trong ô có điểm ghi số 20. Lấy A’ đối xứng với A qua O.

Khi đó ta được điểm A’ nằm trong ô có điểm ghi số 8.

• Lấy điểm B nằm trong ô có điểm ghi số 7. Lấy B’ đối xứng với B qua O.

Khi đó ta được điểm B’ nằm trong ô có điểm ghi số 18.

• Lấy điểm C nằm trong ô có điểm ghi số 9. Lấy C’ đối xứng với C qua O.

Khi đó ta được điểm C’ nằm trong ô có điểm ghi số 15.

Vậy điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9 lần lượt là 8; 18; 15.