Giải mục 2 trang 21, 22

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị (C). Với $x>1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $x=1$ (H.1.22).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đọc đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M\left(x;\frac{x}{x-1}\right)$; $H\left(1;\frac{x}{x-1}\right)$.

Do đó, $MH=\sqrt{{\left(1-x\right)}^2+{\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x-1}\right)}^2}=x-1$ (do $x>1$).

b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra $+\infty$).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$; $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Lời giải chi tiết:

$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-4}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=2$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-4}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=2$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$ là $y=2$.

$\underset{x\to 4^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{lim}\frac{2x+1}{x-4}=+\infty$;

$\underset{x\to 4^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-4}=-\infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$ đường thẳng $x=4$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là $C\left(p\right)=\frac{45p}{100-p}$ (triệu đồng), với $0\le p<100$. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$; $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\underset{p\to {100}^{-}}{lim}C\left(p\right)=\underset{p\to {100}^{-}}{lim}\frac{45p}{100-p}=+\infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là $p=100$.

Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.