Giải mục 2 trang 21

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm $\underset{x\to +\infty }{lim}=\frac{x+1}{x}$, $\underset{x\to -\infty }{lim}=\frac{x+1}{x}$.

b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi $x\to +\infty$ hoặc $x\to -\infty$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Từ đồ thị ta thấy:

Khi $x\to +\infty$ thì y tiến dần đến $1$, vậy $\underset{x\to +\infty }{lim}=\frac{x+1}{x}=1$.

Khi $x\to -\infty$ thì y tiến dần đến $1$, vậy $\underset{x\to -\infty }{lim}=\frac{x+1}{x}=1$.

b) MN = y – 1 = $\frac{x+1}{x}-1=\frac{1}{x}$.

Khi $x\to +\infty$ hoặc $x\to -\infty$ thì MN tiến dần về 0.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{x-1}{4x+1}$.

b) $g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Phương pháp giải:

Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=m$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=m$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $f\left(x\right)=\frac{x-1}{4x+1}$.

Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-\frac{1}{4}\right\}$.

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x-1}{4x+1}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1-\frac{1}{x}}{4+\frac{1}{x}}=\frac{1}{4}$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x-1}{4x+1}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1-\frac{1}{x}}{4+\frac{1}{x}}=\frac{1}{4}$.

Vậy đường thẳng $y=\frac{1}{4}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Xét $g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Tập xác định: $D=[0;+\infty )$.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{x}}}=1$.

Vậy đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.