Giải mục 2 trang 22, 23, 24, 25

Hoạt động 3

Tính sin và côsin của góc lượng giác có số đo radian bằng x trong các trường hợp sau:

$x=\frac{\pi }{2};x=-\frac{\pi }{4};x=\frac{11\pi }{3};x=-2,5.$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sin \frac{\pi }{2},\cos \frac{\pi }{2},\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right),\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right),\sin \frac{11\pi }{3},\cos \frac{11\pi }{3},\sin \left(-2,5\right),\cos \left(-2,5\right)$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\cos \frac{\pi }{2}=0,\sin \frac{\pi }{2}=1\\ \cos \frac{-\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \frac{-\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos \frac{11\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{11\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos \left(-2,5\right)\approx -0,8,\sin \left(-2,5\right)=-0,6\end{array}$

Luyện tập 3

Tính giá trị của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ khi $x=\frac{3\pi }{2};x=-\frac{11\pi }{4};x=\frac{14\pi }{3}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sin \frac{3\pi }{2},\cos \frac{3\pi }{2},\sin \left(-\frac{11\pi }{4}\right),\cos \left(-\frac{11\pi }{4}\right),\sin \frac{14\pi }{3},\cos \frac{14\pi }{3}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}y=\cos \frac{3\pi }{2}=0,y=\sin \frac{3\pi }{2}=-1\\ y=\cos \frac{-11\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},y=\sin \frac{-11\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=\cos \frac{14\pi }{3}=-\frac{1}{2},y=\sin \frac{14\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Vận dụng 1

Phương trình li độ của một vật dao động điều hòa có dạng: $x=-6\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, trong đó x (cm) là li độ của vật (hay độ dời của vật so với vị trí cân bằng) tại thời điểm t (giây). Tính li độ của vật tại thời điểm t = 3 giây.

Phương pháp giải:

Thay t = 3 vào phương trình li độ.

Lời giải chi tiết:

Thay t = 3 vào phương trình li độ, ta có:

$x=-6\cos \left(\pi .3+\frac{\pi }{6}\right)=-6\cos \left(\frac{19\pi }{6}\right)=3\sqrt{3}$

Vậy li độ tại thời điểm t = 3 giây là $3\sqrt{3}$(cm).

Hoạt động 4

Tính tang và côtang của góc lượng giác có số đo bằng x trong các trường hợp sau:

$x=\frac{7\pi }{3};x=-\frac{5\pi }{4};x=\frac{11\pi }{6};x=-3.$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\tan \frac{7\pi }{3},\cot \frac{7\pi }{3},\tan \left(-\frac{5\pi }{4}\right),\cot \left(-\frac{5\pi }{4}\right),\tan \frac{11\pi }{6},\cot \frac{11\pi }{6},\tan \left(-3\right),\cot \left(-3\right)$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\tan \frac{7\pi }{3}=\sqrt{3},\cot \frac{7\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \tan \left(-\frac{5\pi }{4}\right)=-1,\cot \left(-\frac{5\pi }{4}\right)=-1\\ \tan \frac{11\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3},\cot \frac{11\pi }{6}=-\sqrt{3}\\ \tan \left(-3\right)\approx 0,14;\cot \left(-3\right)\approx 7,02\end{array}$

Luyện tập 4

Tính giá trị của hàm số $y=\tan x$ và hàm số $y=\cot x$ khi $x=\frac{13\pi }{3};x=-\frac{9\pi }{4};x=\frac{19\pi }{6}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\tan \frac{13\pi }{3},\cot \frac{13\pi }{3},\tan \left(-\frac{9\pi }{4}\right),\cot \left(-\frac{9\pi }{4}\right),\tan \frac{19\pi }{6},\cot \frac{19\pi }{6}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\tan \frac{13\pi }{3}=\sqrt{3},\cot \frac{13\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \tan \left(-\frac{9\pi }{4}\right)=-1,\cot \left(-\frac{9\pi }{4}\right)=-1\\ \tan \frac{19\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\cot \frac{19\pi }{6}=\sqrt{3}\end{array}$

Hoạt động 5

a) So sánh các giá trị $\sin x$ và $\sin \left(-x\right)$, $\cos x$ và $\cos \left(-x\right)$.

b) So sánh các giá trị $\tan x$ và $\tan \left(-x\right)$ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$.

c) So sánh các giá trị $\cot x$ và $\cot \left(-x\right)$ khi $x\ne k\pi \left(k\in Z\right)$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác giữa 2 góc đối nhau.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\sin \left(-x\right)=-\sin x\\ \cos \left(-x\right)=\cos x\end{array}$

b) $\tan \left(-x\right)=-\tan x$

c) $\cot \left(-x\right)=\cot x$

Luyện tập 5

Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số $y=f\left(x\right)=\sin x-\tan x.$

Phương pháp giải:

So sánh$f\left(-x\right)$ và $f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}D=R\\ \forall x\in D\Rightarrow -x\in D\end{array}$

$f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right)-\tan \left(-x\right)=-\sin x+\tan x=-\left(\sin x-\tan x\right)=-f\left(x\right)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Hoạt động 6

Tìm một số $T\ne 0$ sao cho $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\sin x;$

b) $f\left(x\right)=\cos x;$

c) $f\left(x\right)=\tan x;$

d) $f\left(x\right)=\cot x.$

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất 

$\begin{array}{c}\sin \left(\alpha +k2\pi \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\alpha +k2\pi \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(\alpha +k\pi \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\alpha +k\pi \right)=\cot \alpha \end{array}$

Tìm ra T, từ đó chứng minh $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc tập xác định của mỗi hàm số.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}D=R\\ \forall x\in D\Rightarrow x+2\pi \in D,x-2\pi \in D\\ f\left(x+2\pi \right)=\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x=f\left(x\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{c}D=R\\ \forall x\in D\Rightarrow x+2\pi \in D,x-2\pi \in D\\ f\left(x+2\pi \right)=\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x=f\left(x\right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{c}D=R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right\}\\ \forall x\in D\Rightarrow x+\pi \in D,x-\pi \in D\\ f\left(x+\pi \right)=\tan \left(x+\pi \right)=\tan x=f\left(x\right)\end{array}$

d)

$\begin{array}{c}D=R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right\}\\ \forall x\in D\Rightarrow x+\pi \in D,x-\pi \in D\\ f\left(x+\pi \right)=\cot \left(x+\pi \right)=\cot x=f\left(x\right)\end{array}$

Luyện tập 6

Chứng minh hàm số $y=f\left(x\right)=1-\cot x$ là hàm số tuần hoàn.

Phương pháp giải:

Chỉ ra $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ với T khác 0 là chu kì tuần hoàn.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}D=R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right\}\\ \forall x\in D\Rightarrow x+\pi \in D,x-\pi \in D\\ f\left(x+\pi \right)=1-\cot \left(x+\pi \right)=1-\cot x=f\left(x\right)\end{array}$

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn.