Giải mục 2 trang 22, 23

HĐ5

Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 $m^2$, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích $S\left(x\right)=-2x^2+20x$ với 48.

Lời giải chi tiết:

Để diện tích của mảnh vườn không nhỏ hơn 48 $m^2$ thì:

$S\left(x\right)\ge 48\Rightarrow -2x^2+20x\ge 48$

$\iff -2x^2+20x-48\ge 0$.

LT3

Giải các bất phương trình sau:

a) $-5x^2+x-1\le 0$;

b) $x^2-8x+16\le 0$;

c) $x^2-x-6>0$.

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ từ đó suy ra tập nghiệm.

Xét dấu tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

Bước 1: Tính $\Delta =b^2-4ac$.

Bước 2:

- Nếu $\Delta <0$ thì $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in R$.

- Nếu $\Delta =0$ thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép là $x_0$. Vậy $f\left(x\right)$ cùng dấu với a với $x\ne x_0$.

- Nếu $\Delta >0$ thì $f\left(x\right)$ có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

a) Tam thức $f\left(x\right)=-5x^2+x-1$ có $\Delta =-19<0$, hệ số $a=-5<0$ nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $-5x^2+x-1<0$ với mọi $x\in R$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

b) Tam thức $g\left(x\right)=x^2-8x+16$ có $\Delta =0$, hệ số a = 1 > 0 nên g(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi $x\ne 4$, tức là $x^2-8x+16>0$ với mọi $x\ne 4$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4.

c) Tam thức $f\left(x\right)=x^2-x-6$ có $\Delta =(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25>0$ nên $f\left(x\right)$ có hai nghiệm $x_1=-2$ và $x_2=3$.

Mặt khác hệ số $a=1>0$, do đó ta có bằng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

VD

Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai $h\left(t\right)=-4,9t^2+20t+1$, ở độ cao $h\left(t\right)$ tính bằng mét và thời gian t tình bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất.

Phương pháp giải:

Tìm khoảng thời gian t để $h\left(t\right)>5$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f\left(t\right)=h\left(t\right)-5$.

Các bước xét dấu tam thức bậc hai $f\left(t\right)=a{t}^2+bt+c$.

Bước 1: Tính $\Delta =b^2-4ac$.

Bước 2:

- Nếu $\Delta <0$ thì $f\left(t\right)$ luôn cùng dấu với a với mọi $t\in R$.

- Nếu $\Delta =0$ thì $f\left(t\right)$ có nghiệm kép là $t_0$. Vậy $f\left(t\right)$ cùng dấu với a với $t\ne t_0$.

- Nếu $\Delta >0$ thì $f\left(t\right)$ có 2 nghiệm là $t_1;t_2$$(t_1<t_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn $f\left(t\right)>0$.

Lời giải chi tiết:

Để quả bóng ở độ cao trên 5 m so với mặt đất thì:

$\begin{array}{c}h\left(t\right)>5\\ \Rightarrow -4,9t^2+20t+1>5\\ \Rightarrow -4,9t^2+20t-4>0\end{array}$

Đặt $f\left(t\right)=-4,9t^2+20t-4$ có ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={10}^2-(-4,9).(-4)=80,4>0$ nên $f\left(t\right)$ có 2 nghiệm:

$\begin{array}{c}{t}_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}=\frac{-10+\sqrt{80,4}}{-4,9}=\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9}\\ t_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}=\frac{-10-\sqrt{80,4}}{-4,9}=\frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\end{array}$

Mặt khác $a=-4,9<0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Do đó để $h\left(t\right)>5$ thì $t\in \left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9};\frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$.

Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất thì $t\in \left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9};\frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$.