Giải mục 2 trang 24, 25, 26

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian, cho hình chóp $O.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $OA\perp \left(ABCD\right)$, $OA=h$. Đặt trục số $Ox$ như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left(0<x\le h\right)$, cắt hình chóp $O.ABCD$ theo mặt cắt là hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Kí hiệu $S\left(x\right)$ là diện tích của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Tính $S\left(x\right)$ theo $a$, $h$ và $x$.

b) Tính $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$ và so sánh với thể tích của khối chóp $O.ABCD$. 

Phương pháp giải:

a) Do $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông, nên $S\left(x\right)=A^{\prime }D{}^{\prime 2}$.

Tam giác $OAD$ có $AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}$, từ đó tính được $A^{\prime }{D}^{\prime }$, sau đó tính $S\left(x\right)$.

b) Tính $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$ và thể tích khối chóp $O.ABCD$ và so sánh các kết quả với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Do $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông, nên $S\left(x\right)=A^{\prime }D{}^{\prime 2}$.

Tam giác $OAD$ có $AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}\Rightarrow A^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{O{A}^{\prime }.AD}{OA}=\frac{x.a}{h}$

Suy ra $S\left(x\right)=A^{\prime }D{}^{\prime 2}={\left(\frac{x.a}{h}\right)}^2=\frac{a^2}{h^2}{x}^2$

b) Ta có: $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\frac{a^2}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{a^2}{h^2}{\left(\frac{x^3}{3}\right)|}_0^h=\frac{a^2}{h^2}.\frac{h^3}{3}=\frac{a^{2}h}{3}$

Thể tích khối chóp $O.ABCD$ là $V_{O.ABCD}=\frac{1}{3}.a^2.h=\frac{a^{2}h}{3}$

Như vậy $V_{O.ABCD}=\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$

TH5

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một bình chứa nước có dạng như hình 11. Biết rằng khi nước ở trong bình có chiều cao $x$ (dm) $\left(0\le x\le 4\right)$ thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt{2+\frac{x^2}{4}}$ (dm). Tính dung tích của bình.

Phương pháp giải:

Chọn trục $Ox$ vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với $Ox$ lần lượt tại $x=0$ và $x=4$.

Diện tích mặt nước ở chiều cao $x$ là $S\left(x\right)={\left(\sqrt{2+\frac{x^2}{4}}\right)}^2=2+\frac{x^2}{4}$.

Dung tích của bình là $V=\underset{0}{\overset{4}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Chọn trục $Ox$ vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với $Ox$ lần lượt tại $x=0$ và $x=4$.

Diện tích mặt nước ở chiều cao $x$ là:

$S\left(x\right)={\left(\sqrt{2+\frac{x^2}{4}}\right)}^2=2+\frac{x^2}{4}$.

Dung tích của bình là:

$V=\underset{0}{\overset{4}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(2+\frac{x^2}{4}\right)dx={\left(2x+\frac{x^3}{12}\right)|}_0^4=\frac{40}{3}$.

KP4

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$, trục hoành và đường thẳng $x=4$ (Hình 12a). Quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$ thì được một khối nón, kí hiệu là $N$ (Hình 12b).

a) Cắt khối $N$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left(0\le x\le 4\right)$ thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích $S\left(x\right)$ của mặt cắt đó.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón $N$.

Phương pháp giải:

a) Mặt cắt khi cắt khối nón $N$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ là hình tròn. Tính bán kính của hình tròn, từ đó tính được diện tích $S\left(x\right)$ của mặt cắt đó.

b) Công thức tính thể tích của khối nón $N$ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt cắt khi cắt khối nón $N$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ là hình tròn. Ta nhận thấy rằng khi cắt khối nón $N$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ thì bán kính mặt cắt sẽ là $\frac{1}{2}x$.

Do đó diện tích của mặt cắt là $S\left(x\right)=\pi .{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=\frac{\pi }{2}{x}^2$.

b) Khối nón $N$ có bán kính đáy $r=2$ và chiều cao $h=4$ nên thể tích của khối nón là: $V=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.4=\frac{16\pi }{3}$.

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 26 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=1+\frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ (Hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$, với $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, là: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$

$=\pi {\left(x+2\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}\right)|}_1^2=\pi \left(\frac{3}{2}+2\ln 2\right)$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ (Hình 16).

Phương pháp giải:

Chọn trục $Ox$ và $Oy$ như hình vẽ.

Khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi tam giác $OAH$ quanh trục $Ox$, ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$.

Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường thẳng $OA$ có phương trình $y=f\left(x\right)=ax+b$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=h$.

Thể tích của khối nón là $V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Chọn trục $Ox$ và $Oy$ như hình vẽ.

Khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi tam giác $OAH$ quanh trục $Ox$, ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$.

Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường thẳng $OA$ có phương trình $y=f\left(x\right)=ax+b$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=h$.

Đường thẳng $OA$ đi qua điểm $O\left(0;0\right)$ và $A\left(h;r\right)$ nên phương trình đường thẳng $OA$ là $y=\frac{r}{h}x$.

Thể tích khối nón là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}{\left(\frac{r}{h}x\right)}^{2}dx=\pi \frac{r^2}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{x}^{2}dx$

$=\frac{\pi r^2}{h^2}.{\left(\frac{x^3}{3}\right)|}_0^h=\frac{\pi r^2}{h^2}.\frac{h^3}{3}=\frac{\pi r^{2}h}{3}$.