Giải mục 2 trang 24, 25, 26

HĐ2

Quan sát Hình 3.

a) So sánh hệ số góc của hai đường thẳng:

$d:y=2x+3$ và $d^{\prime }:y=2x-2$.

Nêu nhận xét về vị trí giữa hai đường thẳng này.

b) Tìm đường thẳng $d^{\prime \prime }$ đi qua gốc tọa độ $O$ và song song với đường thẳng $d$.

Phương pháp giải:

- Hệ số $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$.

- Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng $y=ax\left(a\ne 0\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d:y=2x+3$ có hệ số góc là $a=2$.

Đường thẳng $d^{\prime }:y=2x-2$ có hệ số góc là $a^{\prime }=2$.

Hệ số góc của hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ bằng nhau.

Từ đồ thị ta thấy, hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ song song với nhau.

b) Đường thẳng $d^{\prime \prime }$ đi qua gốc tọa độ $O$ nên có dạng $y=a^{\prime \prime }x$.

Từ đồ thị ta thấy, $d^{\prime \prime }$ đi qua điểm $\left(1;2\right)$ nên ta có:

$2=1.a^{\prime \prime }\Rightarrow a^{\prime \prime }=2$.

Do đó, đường thẳng $d^{\prime \prime }$ là $y=2x$.

HĐ3

Quan sát Hình 4.

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng $d:y=2x$  và $d^{\prime }:y=x$.

b) Nêu nhận xét về hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau.

c) Cho đường thẳng $d^{\prime }:y=ax+b$ và cho biết $d^{\prime \prime }$ cắt $d$. Hệ số góc $a$ của đường thẳng $d^{\prime \prime }$ có thể nhận giá trị nào?

Phương pháp giải:

- Giao điểm của hai đường thẳng là điểm chung mà cả hai đường thẳng đều đi qua.

- Hệ số $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$.

- Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau nếu hệ số góc của chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d:y=2x$  và $d^{\prime }:y=x$ đều có dạng $y=ax$ nên giao điểm của hai đường thẳng là $O\left(0;0\right)$ (cả hai đường thẳng đều đi qua điểm $O\left(0;0\right)$.

b)

- Hệ số góc của đường thẳng $d:y=2x$ là$a=2$.

- Hệ số góc của đường thẳng $d^{\prime }:y=x$ là$a=1$.

Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì cắt nhau.

c) Vì $d$ và $d^{\prime \prime }$ cắt nhau nên chúng không thể song song với nhau hoặc trùng nhau. Do đó, hệ số góc của $d$ và $d^{\prime \prime }$ phải khác nhau. Khi đó, hệ số góc của $d^{\prime \prime }$ khác 2.

TH2

Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

$d_1:y=3x$; $d_2:y=-7x+9$; 

$d_3:y=3x-0,8$; $d_4:y=-7x-1$; 

$d_5:y=\sqrt{2}x+10$; $d_6:y=\sqrt{2}x+\sqrt{10}$

Phương pháp giải:

- Hệ số $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$.

- Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau khi có hệ số góc bằng nhau.

- Hai đường thẳng cắt nhau khi có hệ số góc khác nhau.

Lời giải chi tiết:

Hệ số góc của đường thẳng $d_1:y=3x$ là $a=3$;

Hệ số góc của đường thẳng $d_2:y=-7x+9$ là $a=-7$;

Hệ số góc của đường thẳng $d_3:y=3x-0,8$ là $a=3$;

Hệ số góc của đường thẳng $d_4:y=-7x-1$ là $a=-7$;

Hệ số góc của đường thẳng $d_5:y=\sqrt{2}x+10$ là $a=\sqrt{2}$;

Hệ số góc của đường thẳng $d_6:y=\sqrt{2}x+\sqrt{10}$ là $a=\sqrt{2}$;

- Các cặp đường thẳng song song là:

$d_1:y=3x$ và $d_3:y=3x-0,8$ vì đều có hệ số góc $a=3$ và chúng phân biệt với nhau do chúng cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

$d_2:y=-7x+9$ và $d_4:y=-7x-1$ vì đều có hệ số góc $a=-7$và chúng phân biệt với nhau do chúng cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

$d_5:y=\sqrt{2}x+10$ và $d_6:y=\sqrt{2}x+\sqrt{10}$ vì đều có hệ số góc $a=\sqrt{2}$và chúng phân biệt với nhau do chúng cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

- Ba cặp đường thẳng cắt nhau là:

$d_1:y=3x$ và $d_4:y=-7x-1$ vì có hệ số góc khác nhau $\left(3\ne -7\right)$.

$d_2:y=-7x+9$ và $d_6:y=\sqrt{2}x+\sqrt{10}$ vì có hệ số góc khác nhau $\left(-7\ne \sqrt{2}\right)$.

$d_3:y=3x-0,8$ và $d_5:y=\sqrt{2}x+10$ vì có hệ số góc khác nhau $\left(3\ne \sqrt{2}\right)$.

VD2

Hai ô tô khởi cùng lúc và cùng vận tốc 50 $km/h$, một ô tô bắt đầu từ $B$, một ô tô bắt đầu từ $C$ và cùng đi về phía $D$.

a) Viết công thức của hai hàm số biểu thị khoảng cách từ $A$ đến mỗi xe sau $x$ giờ.

b) Chứng tỏ đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

- Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $t\left(h\right)$ với vận tốc $v\left(km/h\right)$ là:

$s=v.t$

- Khoảng cách của xe sau $t\left(h\right)$ với một điểm là:

$y=y_0+v.t$

Với $y_0$ là khoảng cách của xe với điểm ở thời điểm ban đầu, $v$ là vận tốc của xe, t là thời gian xe đã đi.

- Hai hàm số có đồ thị là hai đường thẳng song song nếu chúng phân biệt và có hệ số góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a)

- Quãng đường xe ô tô khởi hành từ $B$ đi được sau khoảng thời gian $x\left(h\right)$ với vận tốc 50 km/h là: $s=v.t=50.x$

Khi đó, công thức biểu thị khoảng cách từ điểm $A$ đến xe là:

$y=y_0+v.t=3+50.x$.

- Quãng đường xe ô tô khởi hành từ $C$ đi được sau khoảng thời gian $x\left(h\right)$ với vận tốc 50 km/h là: $s=v.t=50.x$

Khi đó, công thức biểu thị khoảng cách từ điểm $A$ đến xe là:

$y=y_0+v.t=5+50.x$.

b) Đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng phân biệt vì cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

Hai đường thẳng đó song song với nhau vì hệ số góc của hai đường thẳng này bằng nhau (đều có $a=50$).