Giải mục 2 trang 25, 26

Luyện tập – vận dụng 2

Chứng minh với mọi $n\in N\ast ,(1+\sqrt{2}{)}^n,(1-\sqrt{2}{)}^n$ lần lượt viết được ở dạng $a_n+b_n\sqrt{2},a_n-b_n\sqrt{2},$ trong đó $a_n,b_n$ là các số nguyên dương.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với $n=p$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khi $n=1$ ta có ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^1=1+\sqrt{2};{\left(1-\sqrt{2}\right)}^1=1-\sqrt{2}$ có dạng $a_1+b_1\sqrt{2},a_1-b_1\sqrt{2}$ với $a_1=1;b_1=1$ là các số nguyên dương

Vậy mệnh đề đúng với $n=1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

${\left(1+\sqrt{2}\right)}^{k+1};{\left(1-\sqrt{2}\right)}^{k+1}$ có dạng $a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2};a_{k+1}-b_{k+1}\sqrt{2}$ với $a_{k+1};b_{k+1}$ là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${\left(1+\sqrt{2}\right)}^k=a_k+b_k\sqrt{2};{\left(1-\sqrt{2}\right)}^k=a_k-b_k\sqrt{2}$ với $a_k;b_k$ là các số nguyên dương.

Suy ra

$\begin{array}{c}{\left(1+\sqrt{2}\right)}^{k+1}={\left(1+\sqrt{2}\right)}^k\left(1+\sqrt{2}\right)\\ =\left(a_k+b_k\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)=a_k+b_k\sqrt{2}+a_k\sqrt{2}+b_k{\left(\sqrt{2}\right)}^2\\ =\left(a_k+2b_k\right)+\left(a_k+b_k\right)\sqrt{2}\\ =a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2}\end{array}$

Trong đó $a_{k+1}=a_k+2b_k\in N\ast ;b_{k+1}=a_k+b_k\in N\ast$

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n\in N\ast$.

Luyện tập – vận dụng 3

Chứng minh ${16}^n-15n-1$ chia hết cho 225 với mọi $n\in N\ast$.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với $n=p$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khi $n=1$ ta có ${16}^1-15.1-1=0$ chia hết cho 225.

Vậy mệnh đề đúng với $n=1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

${16}^{k+1}-15(k+1)-1$ chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${16}^k-15k-1$ chia hết cho 225.

Suy ra

$\begin{array}{c}{16}^{k+1}-15(k+1)-1={16.16}^k-15k-16\\ =16\left({16}^k-15k-1\right)+16(15k+1)-15k-16\\ =16\left({16}^k-15k-1\right)+225k\end{array}$

Chia hết cho 225

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi .