Giải mục 2 trang 26, 27, 28

Khảo sát hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a ne 0))

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

b) $y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ .

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

Tập xác định: $D = R$ .

* Chiều biến thiên:

$y^{'} = - 6 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \end{array}$

Trên các khoảng ( $- \infty$ ;-1), (0; $+ \infty$ ) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1;0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

* Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và $y_{c d} = 1$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và $y_{c t} = 0$ .

* Các giới hạn tại vô cực:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) = + \infty$ ;

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) = - \infty$ .

* Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1;0) và ( $\frac{1}{2}$ ;0).

b) $y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$

Tập xác định: $D = R$ .

* Chiều biến thiên:

$y^{'} = 3 x^{2} + 6 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ .

$y^{'} \geq 0 \forall x \in R$ nên hàm số đồng biến trên $R$ .

* Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

* Các giới hạn tại vô cực:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2) = - \infty$ ;

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2) = + \infty$ .

* Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 2 nên (0;2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ .

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-2;0).