Giải mục 2 trang 26

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=-x^3+2x^2+4x-3$

b) $y=f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+1$

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết:

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x^3+2x^2+4x-3\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[-x^3\left(1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)\right]=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x^3+2x^2+4x-3\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[-x^3\left(1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)\right]=+\infty$

$y^{\prime }=0\leftrightarrow -3x^2+4x+4=0\leftrightarrow x=2$hoặc $x=-\frac{2}{3}$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty -\frac{2}{3})$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên khoảng $(-\frac{2}{3};2)$.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\frac{2}{3},y_{CT}=-\frac{121}{27}.$

Hàm số đạt cực đại tại $x=2,y_{CD}=5.$

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là $(0,-3)$.

Giao điểm với trục Ox là $(3,0)\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},0\right),\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},0\right)$.

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+1\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x^3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\infty .$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[x^3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\infty .$

Ta có:

$y^{\prime }=x^2-2x+1$

$y^{\prime }=0\leftrightarrow x^2-2x+1=0\leftrightarrow x=1$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R

Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,1).

Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một chi tiết máy có dạng khối nón với bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Người ta cần khoan từ đáy khối nón lên phía trên một khối trụ có bán kính đáy là r (r > 0)và có tâm của đáy trùng tâm của đáy khối nón như Hình 1.32. Xác định r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất.

Phương pháp giải:

- Biểu diễn thể tích khối trụ cần khoan trong khối nón

- Biểu diễn chiều cao h của khối trụ theo bán kính r

- Xác giá trị r để thể tích khối trụ V lớn nhất bằng cách tìm giá trị lớn nhất của V trong khoảng (0, $+\infty )$.

Lời giải chi tiết:

Ta có thể tích khối trụ là:

$V=\pi r^{2}h$

Sử dụng tỷ lệ hình học trong tam giác đồng dạng:

$\frac{h}{8}=\frac{6-r}{6}\to h=8.\frac{6-r}{6}=8-\frac{8r}{6}=8-\frac{4r}{3}$

Thay h vào công thức tính thể tích V:

$V=\pi r^2\left(8-\frac{4r}{3}\right)=\pi r^2\cdot \frac{24-4r}{3}=\pi \cdot \frac{24r^2-4r^3}{3}=\frac{\pi }{3}\left(24r^2-4r^3\right)$

Đạo hàm V theo r:

$\frac{dV}{dr}=\frac{\pi }{3}\left(48r-12r^2\right)=\frac{\pi }{3}\cdot 12r(4-r)=4\pi r(4-r)$

Với $\frac{dV}{dr}=0$ thì ta có 2 nghiệm r là $r=0$ hoặc $r=4$ (Loại $r=0$ vì $r>0$)

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\pi }{3}\left(24x^2-4x^3\right)$

Nhận thấy khi x = 0 thì giá trị của f(x) là lớn nhất

Vậy giá trị bán kính r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất là r = 4cm.