Giải mục 2 trang 27, 28

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc 3

Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 28 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định: $D = R$ .

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{'} = - 6 x^{2} + 6 x - 5$

$= - 6 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{7}{2} \leq - \frac{7}{2}$ với mọi $x \in R$ .

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (- 2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x)$

$= lim_{x \to - \infty} [x^{3} (- 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}})] = + \infty$ .

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (- 2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x)$

$= lim_{x \to + \infty} [x^{3} (- 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}})] = - \infty$ .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x$ với trục tung là $(0; 0)$ .

Ta có: $- 2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x = 0$

$\Leftrightarrow - x (2 x^{2} - 3 x + 5) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm $(1; - 4)$ thuộc đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x$ .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(\frac{1}{2}; - 2)$ .