Giải mục 2 trang 27, 28

Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 28 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$. 

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định: $D=R$.

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-6x^2+6x-5$

$=-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}\le -\frac{7}{2}$ với mọi $x\in R$.

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-2x^3+3x^2-5x\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[x^3\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\right]=+\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-2x^3+3x^2-5x\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x^3\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\right]=-\infty$.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$ với trục tung là $\left(0;0\right)$.

Ta có: $-2x^3+3x^2-5x=0$

$\iff -x\left(2x^2-3x+5\right)=0\iff x=0$.

Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm $\left(1;-4\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(\frac{1}{2};-2\right)$.