Giải mục 2 trang 29

Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 29 SGK Toán 12 Cánh diều

Khảo sát và sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x-2$;

b) $y=x^3+3x^2+3x+1$.

Lời giải chi tiết

a) $y=-x^3+3x-2$.

1) TXĐ: $R$.

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=-\infty$; $\underset{x\to -\infty }{lim}y=+\infty$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff$ x = 1 hoặc x = -1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;1), nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$, $\left(1;+\infty \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, $y_{CD}=0$; hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, $y_{CT}=-4$.

3) Đồ thị:

 - Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-2).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x-2=0\iff$ x = 1 hoặc x = -2.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (1;0) và (-2;0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;0), (0;-2), (1;0) và (-1;-4).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm (0;-2).

Ta vẽ được đồ thị $y=-x^3+3x-2$ như hình:

b) $y=x^3+3x^2+3x+1$.

1) TXĐ: $D=R$.

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=+\infty$; $\underset{x\to -\infty }{lim}y=-\infty$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2+6x+3=0\iff x=-1$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ và không có cực trị.

3) Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;1).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x^2+3x+1=0\iff x=-1$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (-1;0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;0), (1;0) và (-2;-1).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm (-1;0).

Ta vẽ được đồ thị $y=x^3+3x^2+3x+1$ như hình: