Giải mục 2 trang 30, 31

Thực hành 3

Chứng minh rằng $n^3+2n$ chia hết cho 3 với mọi $n\in N\ast$.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n=p$.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n=k\ge p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $1^3+2.1=3$ chia hết cho 3.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $n=1$.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có:

$k^3+2k$ chia hết cho 3.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh:

$(k+1{)}^3+2(k+1)$ chia hết cho 3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k\ge 1$, ta có:

$(k+1{)}^3+2(k+1)$

$=k^3+3k^2+3k+1+2k+2$

$=\left(k^3+2k\right)+3\left(k^2+k+1\right)$.

Vậy bất đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n\in N^{\ast }$.

Thực hành 4

Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in N^{\ast }$:

$1+q+q^2+q^3+q^4+...+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}$ $(q\ne 1)$.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n=p$.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n=k\ge p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $1=\frac{1-q}{1-q}$.

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $n=1$.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có:

$1+q+q^2+q^3+q^4+...+q^{k-1}=\frac{1-q^k}{1-q}$ $(q\ne 1)$.

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh:

$1+q+q^2+q^3+q^4+...+q^{k-1}+q^k$

$=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$  $(q\ne 1)$.

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k\ge 1$, ta có

$1+q+q^2+q^3+q^4+...+q^{k-1}+q^k$

$=\frac{1-q^k}{1-q}+q^k=\frac{1-q^k+q^k(1-q)}{1-q}$

$=\frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$ $(q\ne 1)$.

Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Thực hành 5

Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần $(n\in N^{\ast })$.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n=p$.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n=k\ge p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua.

Bước 1: Với $n=1$ ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $n=1$.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh k + 1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k + 1) phần.

Gọi đường thẳng thứ k + 1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần.

Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.

Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.

Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k + 1 đường thẳng là $2k+2=2(k+1)$.

Vậy mệnh đề đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Vận dụng

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi $T_n$ là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n $(n\in N\ast )$.

a) Tính $T_1,T_2,T_3.$

b) Từ đó, dự đoán công thức tính $T_n$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Phương pháp giải:

PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n=p$.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n=k\ge p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được:

$T_1=A+A.r=A(1+r)$.

Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là $T_1$, vậy người đó nhận được:

$T_2=T_1+T_1.r=T_1(1+r)=A.(1+r{)}^2$.

Sau kì thứ 3 người đó nhận được:

$T_3=T_2+T_2.r=T_2(1+r)=A.(1+r{)}^3$.

b) Dự đoán: $T_n=A.(1+r{)}^n$ (*)

Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.

Với $n=1$ ta có $T_1=A(1+r)$.

Vậy (*) đúng với $n=1$.

Giải sử (*) đúng với $n=k$ tức là ta có:

$T_k=A.(1+r{)}^k$.

Ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh:

$T_{k+1}=A.(1+r{)}^{k+1}$.

Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k + 1, khi đó số tiền nhận được là:

$T_{k+1}=T_k+T_k.r=T_k(1+r)$

$=A.(1+r)(1+r)=A.(1+r{)}^{k+1}$.

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$.