Giải mục 2 trang 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38

Hoạt động 2

Trong Hình 1.45, xét đường thẳng $y=m\left(-1\le m\le 1\right)$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$.

a) Dựa vào Hình 1.45, cho biết trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, đồ thị hàm số $y=\sin x$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sin x$ và đường thẳng $y=m$ theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.45, trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, đồ thị hàm số $y=\sin x$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là $a$ và $\pi -a$.

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm lần lượt từ trái sang phải là $-3\pi -a;a-2\pi ;-\pi -a;a;\pi -a;a+2\pi ;3\pi -a$.

Luyện tập 3

Giải các phương trình sau:

a) $\sin x=\frac{1}{3};$

b) $\sin 2x=-\frac{1}{2};$

c) $\sin \left(x+{30}^0\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Phương pháp giải:

$\begin{array}{c}\sin x=m\iff \sin x=\sin \alpha \\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\sin x=\frac{1}{3}\\ \iff \sin x=\sin 0,34\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x=0,34+k2\pi \\ x=\pi -0,34+k2\pi \approx 2,8+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=0,34+k2\pi ,x=2,8+k2\pi \left(k\in Z\right)$.

b)

$\begin{array}{c}\sin 2x=-\frac{1}{2}\\ \iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \left(k\in Z\right)$.

c)

$\begin{array}{c}\sin \left(x+{30}^0\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \sin \left(x+{30}^0\right)=\sin \left({45}^0\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x+{30}^0={45}^0+k{360}^0\\ x+{30}^0={180}^0-{45}^0+k{360}^0={135}^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}x={15}^0+k{360}^0\\ x={180}^0-{45}^0-{30}^0+k{360}^0={105}^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x={15}^0+k{360}^0,x={105}^0+k{360}^0\left(k\in Z\right)$.

Luyện tập 4

Giải phương trình: $\sin 4x=-\sin \left(\pi -x\right)$.

Phương pháp giải:

$\begin{array}{c}\sin x=-\sin \alpha \\ \iff \sin x=\sin \left(-\alpha \right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x=-\alpha +k2\pi \\ x=\pi +\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\sin 4x=-\sin \left(\pi -x\right)\\ \iff \sin 4x=\sin \left(-\pi +x\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}4x=-\pi +x+k2\pi \\ x=\pi -\left(-\pi +x\right)+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}3x=-\pi +k2\pi \\ 2x=2\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\pi +k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3},x=\pi +k\pi \left(k\in Z\right)$.

Vận dụng 1

Giả sử số lượng N của một loài hươu sau t năm được xác định bởi công thức

$N=30000+20000\sin \left(\frac{\pi t}{10}\right)$

Xác định năm đầu tiên mà số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con theo công thức trên.

Phương pháp giải:

Thay N = 50000 vào phương trình. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

Lời giải chi tiết:

Thay N = 50000 vào phương trình, ta có:

$\begin{array}{c}30000+20000\sin \left(\frac{\pi t}{10}\right)=50000\\ \iff \sin \left(\frac{\pi t}{10}\right)=1\\ \iff \sin \left(\frac{\pi t}{10}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\\ \Rightarrow \frac{\pi t}{10}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \iff t=5+k20\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy sau 5 năm đầu tiên thì số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con.

Hoạt động 3

Trong Hình 1.46, xét đường thẳng $y=m\left(-1\le m\le 1\right)$ và đồ thị hàm số $y=\cos x$.

a) Dựa vào Hình 1.46, cho biết trên đoạn $\left[0;\pi \right]$, đồ thị hàm số $\cos x=m$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ và đường thẳng $y=m$ theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.46, trên đoạn $\left[0;\pi \right]$, đồ thị hàm số $\cos x=m$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là $-a$ và $a$.

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ và đường thẳng $y=m$ lần lượt từ trái sang phải là $-a-2\pi ;a-2\pi ;-a;a;-a+2\pi ;a+2\pi$.

Luyện tập 5

Giải các phương trình sau:

a) $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3};$

b) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1;$

c) $\cos \left(x-{45}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{c}\cos x=m\\ \iff \cos x=\cos \alpha \\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in Z\right)$

b)

$\begin{array}{c}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\\ \iff x+\frac{\pi }{4}=\pi +k2\pi \left(k\in Z\right)\\ \iff x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

c)

$\begin{array}{c}\cos \left(x-{45}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \iff \cos \left(x-{45}^0\right)=\cos \left({30}^0\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x-{45}^0={30}^0+k{360}^0\\ x-{45}^0=-{30}^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}x={75}^0+k{360}^0\\ x={15}^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x={75}^0+k{360}^0,x={15}^0+k{360}^0\left(k\in Z\right)$

Luyện tập 6

Giải phương trình sau: $\sin 5x=-\cos \left(\pi +x\right).$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng $\cos x=\cos \alpha$$\Rightarrow [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\sin 5x=-\cos \left(\pi +x\right)\\ \iff \cos \left(\frac{\pi }{2}-5x\right)=\cos \left(\pi +x\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}-5x=\pi +x+k2\pi \\ \frac{\pi }{2}-5x=-\pi -x+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}-6x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ -4x=-\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}-k\frac{\pi }{3}\\ x=\frac{3\pi }{8}-k\frac{\pi }{2}\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{12}-k\frac{\pi }{3},x=\frac{3\pi }{8}-k\frac{\pi }{2}$

Vận dụng 2

Cường độ dòng điện i (ampe) qua một mạch điện xoay chiều được tính bởi công thức $i=10\sqrt{2}\cos \left(100\pi t\right),$ trong đó t là thời gian tính bằng giây. Xác định thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe.

Phương pháp giải:

Thay i = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

Lời giải chi tiết:

Thay i = 10 vào công thức, ta có:

$\begin{array}{c}10\sqrt{2}\cos \left(100\pi t\right)=10\\ \iff \cos \left(100\pi t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \iff \cos \left(100\pi t\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}100\pi t=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 100\pi t=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\\ \iff [\begin{array}{c}t=\frac{1}{400}+\frac{k}{50}\\ t=-\frac{1}{400}+\frac{k}{50}\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe là $\frac{1}{400}$ giây.

Hoạt động 4

Trong Hình 1.47, xét đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=\tan x$.

a) Dựa vào Hình 1.47, cho biết trên đoạn $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, đồ thị hàm số $y=\tan x$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\tan x$ và đường thẳng $y=m$ theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.47, trên đoạn $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, đồ thị hàm số $y=\tan x$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là $a$.

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\tan x$ và đường thẳng $y=m$ lần lượt từ trái sang phải là $a-2\pi ,a-\pi ,a,a+\pi ,a+2\pi$.

Luyện tập 7

Giải các phương trình sau:

a) $\tan 3x=1;$

b) $\tan 4x=-1,5;$

c) $\tan \left(x+{15}^0\right)=-\sqrt{3}.$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{c}\tan x=m\\ \iff \tan x=\tan \alpha \\ \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\tan 3x=1\\ \iff \tan 3x=\tan \frac{\pi }{4}\\ \iff 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)\\ \iff x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$                  

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in Z\right)$

b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng $\left(0;\pi \right)$ thỏa mãn $\tan 4x=-1,5$

$\begin{array}{c}\tan 4x=\tan a\\ \iff 4x=a+k\pi \left(k\in Z\right)\\ \iff x=\frac{a}{4}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{a}{4}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

c)

$\begin{array}{c}\tan \left(x+{15}^0\right)=-\sqrt{3}\\ \iff \tan \left(x+{15}^0\right)=\tan \left(-{60}^0\right)\\ \iff x+{15}^0=-{60}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)\\ \iff x=-{75}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-{75}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)$

Vận dụng 3

Một người dẫn em gái của mình đến công viên để chơi xích đu. Lực đẩy theo phương ngang F (N) mà người đó dùng để đẩy em gái trong trò chơi này được xác định bởi công thức $F=mg\tan \theta$, trong đó m (kg) là khối lượng của em gái, g là gia tốc trọng trường và $\theta$ là góc tạo bởi xích đu khi bắt đầu được đẩy với phương thẳng đứng (Hình 1.49) (nguồn: https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation/centripetal-forces/v/mass-swiging-in-a-horizontal-circle). Xác định góc $\theta$ khi $F=400\sqrt{3}$N, m = 40 kg và g = 10 m/s².

Phương pháp giải:

Thay $F=400\sqrt{3}$, m = 40 và g = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm $\theta$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}400\sqrt{3}=\mathrm{40.10.}\tan \theta \\ \iff \tan \theta =\sqrt{3}\\ \iff \tan \theta =\tan {60}^0\\ \iff \theta ={60}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy $\theta ={60}^0$

Hoạt động 5

Trong Hình 1.50, xét đường thẳng $y=m$và đồ thị hàm số $y=\cot x$.

a) Dựa vào Hình 1.50, cho biết trên đoạn $\left(0;\pi \right)$, đồ thị hàm số $y=\cot x$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\cot x$ và đường thẳng $y=m$ theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.50, trên đoạn $\left(0;\pi \right)$, đồ thị hàm số $y=\cot x$ cắt đường thẳng $y=m$ tại điểm có hoành độ là $a$.

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số $y=\cot x$ và đường thẳng $y=m$ lần lượt từ trái sang phải là $a-2\pi ,a-\pi ,a,a+\pi$.

Luyện tập 8

Giải các phương trình sau:

a) $\cot 2x=-1;$

b) $\cot 6x=4;$

c) $\cot \left(x-{45}^0\right)=\sqrt{3}.$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{c}\cot a=m\iff \cot a=\cot b\\ \iff a=b+k\pi \left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\cot 2x=-1\\ \iff \cot 2x=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)\\ \iff 2x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)\\ \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in Z\right)$

b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng $\left(0;\pi \right)$ thỏa mãn $\cot 6x=4$

$\begin{array}{c}\cot 6x=\cot a\\ \iff 6x=a+k\pi \left(k\in Z\right)\\ \iff x=\frac{a}{6}+k\frac{\pi }{6}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{a}{6}+k\frac{\pi }{6}\left(k\in Z\right)$

c)

$\begin{array}{c}\cot \left(x-{45}^0\right)=\sqrt{3}\\ \iff \cot \left(x-{45}^0\right)=\cot \left({30}^0\right)\\ \iff x-{45}^0={30}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)\\ \iff x={75}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x={75}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)$