Giải mục 2 trang 32, 33, 34

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 32 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $\left[0;2\pi \right)$.

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Phương pháp giải:

Nghiệm của phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$.

Lời giải chi tiết:

a) Từ Hình 1.19, ta thấy đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ cắt đường tròn tại 2 điểm M, M’. Ta có nghiệm của phương trình là: $\frac{\pi }{6},-\frac{5\pi }{6}$.

b) Vì hàm số $\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi$, ta có công thức nghiệm của phương trình là: $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

b) $\sin 3x=-\sin 5x$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

$\sin x=m\iff \sin x=\sin \alpha$

$\iff [\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

Áp dụng công thức cộng lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

b) $\sin 3x=-\sin 5x$

$\iff \sin 3x+\sin 5x=0$

$\iff 2\sin 4x\cos x=0$

$\iff [\begin{array}{c}\sin 4x=0\\ \cos x=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\sin 4x=\sin 0\\ \cos x=\cos \frac{\pi }{2}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}4x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\left(k\in Z\right)$

$\iff [\begin{array}{c}x=k\frac{\pi }{4}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\left(k\in Z\right)$.