Giải mục 2 trang 32, 33, 34

HĐ2

Cho hai phân thức $A=\frac{a+b}{ab}$ và $B=\frac{a-b}{a^2}$ 

a) Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi  sau đây:

$\frac{a+b}{ab}$;                      

$\frac{a-b}{a^2}$ 

b) Sử dụng kết quả trên, tính $A+B$ và $A-B$

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu thức của phân thức ở vế trái để tìm được đa thức thay vào dấu

b) Sử dụng quy tắc cộng, trừ phân thức

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $a\ne 0;b\ne 0$

$\frac{a+b}{ab}$$=\frac{\left(a+b\right)a}{ab.a}=\frac{a^2+ab}{a^{2}b}$  . Vậy đa thức cần tìm là $a^2+ab$

$\frac{a-b}{a^2}$$=\frac{\left(a-b\right)b}{a^{2}b}=\frac{ab-b^2}{a^{2}b}$. Vậy đa thức cần tìm là $ab-b^2$

b) $A+B=\frac{a+b}{ab}+\frac{a-b}{a^2}=\frac{a^2+ab}{a^{2}b}+\frac{ab-b^2}{a^{2}b}=\frac{a^2+ab+ab-b^2}{a^{2}b}=\frac{a^2+2ab-b^2}{a^{2}b}$

$A-B=\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{a^2}=\frac{a^2+ab}{a^{2}b}-\frac{ab-b^2}{a^{2}b}=\frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^{2}b}=\frac{a^2+b^2}{a^{2}b}$

Thực hành 2

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$                        

b) $\frac{1}{2x}+\frac{2}{x^2}$                         

c) $\frac{4}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+x}$ 

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi thực hiện hiện phép tính cộng, trừ phân thức

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $a\ne \pm 3$

$\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$ $=\frac{a\left(a+3\right)}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}-\frac{3\left(a-3\right)}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=\frac{a^2+3a}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}-\frac{3a-9}{\left(a-3\right)\left(a-3\right)}$

$=\frac{a^2+3a-3a+9}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=\frac{a^2+9}{a^2-9}$

b) ĐKXĐ: $x\ne 0$

$\frac{1}{2x}+\frac{2}{x^2}$ $=\frac{x}{2x^2}+\frac{4}{2x^2}=\frac{x+4}{2x^2}$

c) ĐKXĐ: $x\ne 0;x\ne \pm 1$

$\frac{4}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+x}$ $=\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2}{x\left(x+1\right)}=\frac{4x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ $=\frac{4x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2x-2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ $=\frac{4x-2x+2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{2x+2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{2}{x\left(x-1\right)}$

Thực hành 3

Thực hiện phép tính: $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^2-y^2}-\frac{y}{x+y}$ 

Phương pháp giải:

- Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung

- Quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x\ne \pm y$

$\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^2-y^2}-\frac{y}{x+y}=\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{y}{x+y}$ $=\frac{x\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\frac{2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{y\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}$ $=\frac{x^2-xy+2xy-xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

Vận dụng

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trong câu hỏi mở đầu (trang 31). Tính giá trị của các đại lượng này khi $x=6$km/h.

Phương pháp giải:

- Viết biểu thức tính thời gian đi xuôi dòng từ A đến B, Thời gian đi ngược dòng từ B về A

- Tính hiệu thời gian đi từ B về A và thời gian đi từ A dến B

Lời giải chi tiết:

Thời gian đội đi xuôi dòng từ A đến B là: $\frac{3}{x+1}$ (giờ)

Thời gian đội đi ngược dòng từ B về A là: $\frac{3}{x-1}$ (giờ)

Điều kiện: $x\ne \pm 1$

Thời gian thi của đội là:

$\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x-1}$

$=\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

$=\frac{3x-3+3x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{6x}{x^2-1}$ (giờ)

Chênh lệch giữa thời gian đi và bề của đội là:

$\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x+1}$

$=\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{3x+3-3x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{6}{x^2-1}$ (giờ)

Khi $x=6$ (thỏa mãn điều kiện) thì thời gian thi của đội là: $\frac{6.6}{6^2-1}=\frac{36}{36-1}=\frac{36}{35}$ (giờ)

Khi $x=6$ (thỏa mãn điều kiện) thì chênh lệch giữa thời gian đi và về của đội là: $\frac{6}{6^2-1}=\frac{6}{36-1}=\frac{6}{35}$ (giờ)