Giải mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(α)$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Xét vectơ $\vec{n} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ .

a) Vectơ $\vec{n}$ có khác $\vec{0}$ hay không?

b) Tính $\vec{a} . \vec{n}$ ; $\vec{b} . \vec{n}$ .

c) Vectơ $\vec{n}$ có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ không?

Phương pháp giải:

a) Giả sử $\vec{n} = \vec{0}$ , sau đó chứng minh rằng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một cặp vectơ chỉ phương của $(α)$ .

b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

c) Để chứng minh $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ , ta chỉ ra rằng $\vec{n}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(α)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử $\vec{n} = \vec{0}$ , khi đó $a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} = a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ .

Với trường hợp $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ cùng khác 0, ta suy ra $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}$ , điều này có nghĩa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.

Nếu $b_{1} = 0$ thì $a_{1} = 0$ , ta vẫn thu được kết quả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.

Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.

Như vậy $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.

Mặt khác, do $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một cặp vectơ chỉ phương của $(α)$ , nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.

Như vậy $\vec{n} \neq \vec{0}$ .

b) Ta có:

+) $\vec{a} . \vec{n} = a_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + a_{2} (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + a_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

$= a_{1} a_{2} b_{3} - a_{1} a_{3} b_{2} + a_{2} a_{3} b_{1} - a_{2} a_{1} b_{3} + a_{3} a_{1} b_{2} - a_{3} a_{2} b_{1} = 0$

+) $\vec{b} . \vec{n} = b_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + b_{2} (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + b_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

$= b_{1} a_{2} b_{3} - b_{1} a_{3} b_{2} + b_{2} a_{3} b_{1} - b_{2} a_{1} b_{3} + b_{3} a_{1} b_{2} - b_{3} a_{2} b_{1} = 0$

Như vậy $\vec{a} . \vec{n} = \vec{b} . \vec{n} = 0$ .

c) Theo câu b, ta có $\vec{a} . \vec{n} = \vec{b} . \vec{n} = 0$ , điều này có nghĩa là $\vec{n}$ có giá vuông góc với giá của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Mà $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một cặp vectơ chỉ phương của $(α)$ , nên $\vec{n}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(α)$ . Như vậy $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho mặt phẳng $(Q)$ đi qua ba điểm $A (1; 1; 1)$ , $B (- 1; 1; 5)$ , $C (10; 7; - 1)$ . Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của $(Q)$ .

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A (1; 1; 1)$ , $B (- 1; 1; 5)$ , , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .

Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một $C (10; 7; - 1)$ vectơ pháp tuyến của $(Q)$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có $(Q)$ đi qua $A (1; 1; 1)$ , $B (- 1; 1; 5)$ , $C (10; 7; - 1)$ , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} (- 2; 0; 4)$ và $\vec{A C} (9; 6; - 2)$ .

Tích có hướng của hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ là:

$[\vec{A B}, \vec{A C}] = (0. (- 2) - 4.6; 4.9 - (- 2) . (- 2); - 2.6 - 0.9) = (- 24; 32; - 12)$

Do đó, mặt phẳng $(Q)$ nhận $\vec{n} = \frac{1}{4} [\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 6; 8; - 3)$ làm một vectơ pháp tuyến.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho biết hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 1)$ , $\vec{b} = (1; - 2; 0)$ có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình 5. Tìm một vectơ $\vec{n}$ có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).

Phương pháp giải:

Theo hình vẽ, do vectơ $\vec{n}$ có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , nên có thể chọn vectơ $\vec{n}$ là tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Lời giải chi tiết:

Theo hình vẽ, do vectơ $\vec{n}$ có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , nên có thể chọn vectơ $\vec{n}$ là tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là

$[\vec{a}, \vec{b}] = (1.0 - 1. (- 2); 1.1 - 2.0; 2. (- 2) - 1.1) = (2; 1; - 5)$ .

Do đó, vectơ $\vec{n}$ cần tìm là $\vec{n} = (2; 1; - 5)$ .