Giải mục 2 trang 34, 35, 36, 37, 38

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 34 SGK Toán 12 Cánh diều

Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17).

a) Tính S(x).

b) So sánh thể tích khối lập phương đó với $\underset{0}{\overset{1}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông, thể tích hình lập phương và tích phân.

Lời giải chi tiết:

a) S(x) = 1.

b) Thể tích khối lập phương V = 1.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}1dx=1$.

Vậy thể tích khối lập phương đó = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}S\left(x\right)dx$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 12 Cánh diều

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x $(1\le x\le 2)$ cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Thể tích của vật thể là:

$V=\underset{1}{\overset{2}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}2xdx=x^2|\begin{array}{c}{}^2\\ {}_1\end{array}=2^2-1^2=3$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'.

Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng $S\left(x\right)=B\frac{x^2}{b^2}$. Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối chóp cụt đều đó là:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}B\frac{x^2}{b^2}dx=B\frac{x^3}{3b^2}|\begin{array}{c}{}^b\\ {}_a\end{array}=B\frac{b^3}{3b^2}-B\frac{a^3}{3b^2}=\frac{B}{3b^2}(b^3-a^3)$

$=B.\frac{b-a}{3}.\frac{a^2+ab+b^2}{b^2}=\frac{b-a}{3}.B\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}+1\right)$.

Vì $B^{\prime }=B\frac{a^2}{b^2}$ hay $\frac{B^{\prime }}{B}=\frac{a^2}{b^2}$ và h = b – a nên:

$V=\frac{h}{3}.B\left(\frac{B^{\prime }}{B}+\sqrt{\frac{B^{\prime }}{B}}+1\right)=\frac{h}{3}\left(B+\sqrt{B{B}^{\prime }}+B^{\prime }\right)$.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 37 SGK Toán 12 Cánh diều

Xét hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).

a) Tìm hàm số y = f(x).

b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x; f(x)) $(-r\le x\le r)$ nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r.

Phương pháp giải:

a) Tìm hàm số y = f(x) thông qua phương trình nửa đường tròn.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình cầu.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số y = f(x) chính là phương trình của nửa đường tròn có tâm O, bán kính r.

$\Rightarrow y=f\left(x\right)=\sqrt{r^2-x^2}$.

b) $S\left(x\right)=\pi f^2\left(x\right)$.

$V=\frac{4\pi r^3}{3}$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 38 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f\left(x\right)=\sin \frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, $x=\frac{\pi }{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình khối đó là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^2\frac{x}{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1-\cos x}{2}dx=\frac{\pi }{2}(x-\sin x)|\begin{array}{c}{}^{\frac{\pi }{2}}\\ {}_0\end{array}$

$=\frac{\pi }{2}\left[\left(\frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}\right)-\left(0-\sin 0\right)\right]=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{\pi }{2}$.