Giải mục 2 trang 35, 36, 37

HĐ Khám phá 2

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{c}{C}_3^0=C_3^3=1,C_4^1=C_4^3=4,\\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,C_4^2+C_4^3=C_5^3,\end{array}$

Có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in N\ast$,

$\begin{array}{c}{C}_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n)\left(2\right)\\ C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n)\left(3\right)\end{array}$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!},n\in N,0\le k\le n.$

Lời giải chi tiết:

$C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\left[n-(n-k)\right]!}=C_n^{n-k}$

$\begin{array}{c}{C}_n^{k-1}+C_n^k=\frac{n!}{(k-1)!\left(n-k+1\right)!}+\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\\ =\frac{n!}{k!\left(n+1-k\right)!}\left(k+\left(n+1-k\right)\right)\\ =\frac{(n+1)!}{k!\left(n+1-k\right)!}=C_{n+1}^k\end{array}$

Thực hành 2

Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

a) $(2x+1{)}^6$

b) $(x-y{)}^7$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

$\begin{array}{c}(2x+1{)}^6={\left(2x\right)}^6+6{\left(2x\right)}^5+15{\left(2x\right)}^4+20{\left(2x\right)}^3+15{\left(2x\right)}^2+6.2x+1\\ =64x^6+192x^5+240x^4+160x^3+60x^2+12x+1\end{array}$

b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

$\begin{array}{c}(x+(-y){)}^7=x^7+7x^6(-y)+21x^5(-y{)}^2+35x^4(-y{)}^3+35x^3(-y{)}^4+21x^2(-y{)}^5+7x(-y{)}^6+(-y{)}^7\\ =x^7-7x^{6}y+21x^5{y}^2-35x^4{y}^3+35x^3{y}^4-21x^2{y}^5+7x{y}^6-y^7\end{array}$