Giải mục 2 trang 35, 36, 37 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

HĐ 3

Cho $m = 2^{7}; n = 2^{3}$ .

a) Tính $\log_{2} (m n); \log_{2} m + \log_{2} n$ và so sánh các kết quả đó.

b) Tính $\log_{2} (\frac{m}{n}); \log_{2} m - \log_{2} n$ và so sánh các kết quả đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất logarit và định nghĩa lôgarit để làm.

Lời giải chi tiết:

a) $\log_{2} (m n) = \log_{2} (2^{7} {.2}^{3}) = \log_{2} 2^{10} = 10$

$\log_{2} m + \log_{2} n = \log_{2} 2^{7} + \log_{2} 2^{3} = 7 + 3 = 10$

$\Rightarrow \log_{2} m + \log_{2} n = \log_{2} m n$

b) $\log_{2} (\frac{m}{n}) = \log_{2} (\frac{2^{7}}{2^{3}}) = \log_{2} 2^{4} = 4$

$\log_{2} m - \log_{2} n = \log_{2} 2^{7} - \log_{2} 2^{3} = 7 - 3 = 4$

$\Rightarrow \log_{2} (\frac{m}{n}) = \log_{2} m - \log_{2} n$

LT 4

Tính:

a) $\ln (\sqrt{5} + 2) + \ln (\sqrt{5} - 2)$ .

b) $\log 400 - \log 4$ .

c) $\log_{4} 8 + \log_{4} 12 + \log_{4} \frac{32}{3}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức $\log_{a} (m . n) = \log_{a} m + \log_{a} n$ và $\log_{a} (\frac{m}{n}) = \log_{a} m - \log_{a} n$ .

Lời giải chi tiết:

a) $\ln (\sqrt{5} + 2) + \ln (\sqrt{5} - 2) = \ln [(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)] = \ln (5 - 4) = \ln 1 = 0$

b) $\log 400 - \log 4 = \log \frac{400}{4} = \log 100 = 2$

c) $\log_{4} 8 + \log_{4} 12 + \log_{4} \frac{32}{3} = \log_{4} (8.12. \frac{32}{3}) = \log_{4} (32.32) = 5$

HĐ 4

Cho $a > 0; a \neq 1; b > 0$ , α là một số thực.

a) Tính $a^{\log_{a} b^{α}} v à a^{α \log_{a} b}$ .

b) So sánh $\log_{a} b^{α} v à α \log_{a} b$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất logarit để giải.

Lời giải chi tiết:

a) $a^{\log_{a} b^{α}} = c \Leftrightarrow \log_{a} c = \log_{a} b^{α} \Leftrightarrow c = b^{α} \Rightarrow a^{\log_{a} b^{α}} = b^{α}$

$a^{α \log_{a} b} = c \Leftrightarrow \log_{a} c = α \log_{a} b \Leftrightarrow \log_{a} c = \log_{a} b^{α} \Leftrightarrow c = b^{α} \Leftrightarrow a^{α \log_{a} b} = b^{α}$

b) Do $a^{\log_{a} b^{α}} = b^{α}; a^{α \log_{a} b} = b^{α}$

$\Rightarrow a^{\log_{a} b^{α}} = a^{α \log_{a} b} \Rightarrow \log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$

LT 5

Tính: $2 \log_{3} 5 - \log_{3} 50 + \frac{1}{2} \log_{3} 36$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} 2 \log_{3} 5 - \log_{3} 50 + \frac{1}{2} \log_{3} 36 \\ = \log_{3} 5^{2} - \log_{3} 50 + \log_{3} \sqrt{36} \\ = \log_{3} 25 - \log_{3} 50 + \log_{3} 6 \\ = \log_{3} \frac{25}{50} .6 = \log_{3} 3 = 1 \end{array}$

HĐ 5

Cho ba số thực dương a, b, c với $a \neq 1; b \neq 1$ .

a) Bằng cách sử dụng tính chất $c = b^{\log_{b} c}$ , chứng tỏ rằng $\log_{a} c = \log_{b} c . \log_{a} b$ .

b) So sánh $\log_{b} c$ và $\frac{\log_{a} c}{\log_{a} b}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đã cho, chứng tỏ rằng đẳng thức luôn đúng.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l} \log_{a} c = \log_{b} c . \log_{a} b \\ \Leftrightarrow a^{\log_{a} c} = a^{\log_{a} b . \log_{b} c} \\ \Leftrightarrow c = b^{\log_{b} c} \end{array}$

$\Leftrightarrow c = c$ (luôn đúng)

Vậy $\log_{a} c = \log_{b} c . \log_{a} b$

b) Từ $\log_{a} c = \log_{b} c . \log_{a} b \Leftrightarrow \log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b}$

LT 6

Tính: $5^{\log_{125} 64}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào các công thức vừa học để tính.

Lời giải chi tiết:

$5^{\log_{125} 64} = 5^{\log_{5^{3}} 64} = 5^{\frac{1}{3} \log_{5} 64} = 5^{\log_{5} \sqrt[3]{64}} = 5^{\log_{5} 4} = 4$

LT 7

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: $\log_{7} 19; \log_{11} 26$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \log_{7} 19 \approx 1, 5131 \\ \log_{11} 26 \approx 1, 3587 \end{array}$