Giải mục 2 trang 35, 36

HĐ4

Quan sát khai triển nhị thức của $(a + b)^{n}$ với $n \in {1; 2; 3; 4; 5}$ ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Quan sát khai triển nhị thức của $(a + b)^{n}$ với $n \in {1; 2; 3; 4; 5}$ , ta thấy:

+ Công thức khai triển có n + 1 số hạng.

+ Từ trái qua phải:

Hệ số khai triển của các số hạng lần lượt là $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, . . ., C_{n}^{n}$ .

Số mũ của a giảm dần từ n về 0.

Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

Dự đoán: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . .$

$+ C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ .

LT2

Khai triển $(x - 2 y)^{6}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng $(a + b)^{6} = C_{6}^{0} a^{6} + C_{6}^{1} a^{5} b + C_{6}^{2} a^{4} b^{2}$

$+ C_{6}^{3} a^{3} b^{3} + C_{6}^{4} a^{2} b^{4} + C_{6}^{5} a b^{5} + C_{6}^{6} b^{6}$ .

Với $a = x$ , $b = - 2 y$ .

Lời giải chi tiết:

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$(x - 2 y)^{6} = C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} .2 y + C_{6}^{2} x^{4} {(2 y)}^{2}$

$+ C_{6}^{3} x^{3} {(2 y)}^{3} + C_{6}^{4} x^{2} {(2 y)}^{4} + C_{6}^{5} x {(2 y)}^{5} + C_{6}^{6} {(2 y)}^{6}$

$= 1. x^{6} + 6. x^{5} .2 y + 15. x^{4} .4 y^{2} + 20 x^{3} .8 y^{3}$

$+ 15 x^{2} 16 y^{4} + 6 x .32 y^{5} + 1.64 y^{6}$

$= x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3}$

$+ 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 64 y^{6}$ .

LT3

Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển thành đa thức của $(2 - 3 x)^{10}$ .

Phương pháp giải:

Hê số của $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$ .

Lời giải chi tiết:

$(2 - 3 x)^{10} = (- 3 x + 2)^{10}$ .

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển đa thức của $(2 - 3 x)^{10} = (- 3 x + 2)^{10}$ là $C_{10}^{10 - k} (- 3 x)^{k} {.2}^{10 - k}$ .

Số hạng chứa $x^{7}$ ứng với k = 7, tức là số hạng $C_{10}^{10 - 7} (- 3 x)^{7} {.2}^{3}$ hay $- 2099520 x^{7}$ .

Vậy hệ số của $x^{7}$ trong khai triển của $(2 - 3 x)^{10}$ là -2099520.

a) Viết khai triển nhị thức Newton của $(1 + x)^{n}$ .

b) Cho $x = 1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng $C_{n}^{k} (0 \leq k \leq n)$ chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho $x = - 1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải chi tiết:

a) $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + . . . + C_{n}^{n} x^{n}$ .

b) Thay $x = 1$ trong khai triển ở câu a), ta được:

$2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + . . . + C_{n}^{n}$ .

Với $C_{n}^{k} (0 \leq k \leq n)$ chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.

Số tập con của tập có n phần tử là: $2^{n}$ .

c) Thay $x = - 1$ trong khai triển ở câu a), ta được:

$0 = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + . . . + (- 1)^{n} C_{n}^{n} x^{n}$

$\Leftrightarrow C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + . . . = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + . . .$ .

Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.