Giải mục 2 trang 35, 36

Hoạt động 3

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}$ có đồ thị là đường parabol (P) như Hình 7.4 . Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ $x_0=2$.

a, Tính $f^{\prime }\left(2\right)$

b, Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M và có hệ số góc bằng $f^{\prime }\left(2\right)$

c, Vẽ đường thẳng $\Delta$ và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Có nhận xét gì về $\Delta$ và (P).

Phương pháp giải:

a, Áp dụng định nghĩa tính $f^{\prime }\left(2\right)$

b, Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có hoành độ $x_0$ và hệ số góc $f^{\prime }\left(2\right)$ là

$y=f^{\prime }\left(x_0\right).(x-x_0)$

c, Dựa vào câu b để vẽ đường thẳng $\Delta$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $f^{\prime }\left(2\right)=\underset{x\to 2}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{\frac{x^2}{4}-1}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{4(x-2)}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x-2).(x+2)}{4(x-2)}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+2}{4}=1$

b, Điểm M có tọa độ M(2;1)

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M(2,1) có hệ số góc $f^{\prime }\left(2\right)$ là:

y = 1.( x-2)+1= x-1

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: y= x-1

Luyện tập 2

Cho hàm số $y=-3x^3$ có đồ thị ( C ). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M (-1,3)

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm -1

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f^{\prime }(-1)=\underset{x\to -1}{lim}\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x-(-1)}=\underset{x\to -1}{lim}\frac{-3x^3-3}{x+1}=\underset{x\to -1}{lim}\frac{-3.(x^3+1)}{x+1}=\underset{x\to -1}{lim}(-3).(x^2-x+1)=-9$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(-1,3) là -9.

Hoạt động 4

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+1$có đồ thị parabol (P) và điểm M(1,2) thuộc (P). Gọi $\Delta$là tiếp tuyến của (P) tại M. Hãy viết phương trình $\Delta$.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm 1

Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng có hệ số góc k tại điểm $M(x_0;y_0)$ là:

$y=k.(x-x_0)+y_0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y^{\prime }\left(1\right)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+1-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=2$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1,2) có hệ số góc k=2 là:

y = 2.( x -1)+2=2x

Luyện tập 3

Cho parabol (P) $y=x^2+2x-3$ và điểm M thuộc (P) có hoành độ $x_0=-2$

a, Tính $y^{\prime }(-2)$

b, Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M.

Phương pháp giải:

a, Sử dụng định nghĩa để tìm đạo hàm của hàm số tại điểm -2

b, Sử dụng công thức tiếp tuyến $y=f^{\prime }\left(x_0\right).(x-x_0)+f\left(x_0\right)$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $y^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{lim}\frac{f\left(x\right)-f(-2)}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^2+2x-3-(-3)}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^2+2x}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{x.(x+2)}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim}x=-2$

b, Ta có: $x_0=-2\Rightarrow f\left(x_0\right)=(-2{)}^2+2.(-2)-3=-3$

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M (-2, -3) là:

y = -2. (x + 2) -3= -2x -7.