Giải mục 2 trang 37, 38, 39 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ2

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc trong đó có hai góc nhọn bằng nhau và hai góc tù bằng nhau. Góc nhọn và góc tù trong trường hợp này là hai góc bù nhau.

HĐ3

Cho hai đường thẳng cắt nhau $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ tương ứng có các vecto pháp tuyến $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ . Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a) Góc $φ$ và góc $(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})$ .

b) $\cos φ$ và $\cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})$ .

Lời giải chi tiết:

a) Góc $φ$ và góc $(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau.

b) Do góc $φ$ và góc $(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau nên $\cos φ = | \cos (\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) |$ .

LT2

Tính góc giữa hai đường thẳng: $Δ_{1} : x + 3 y + 2 = 0$ , $Δ_{2} : y = 3 x + 1$ .

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ , $Δ_{2} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ .

Bước 1: Xác định VTPT $\vec{n_{1}} (a_{1}, b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}, b_{2})$ tương ứng.

Bước 2: Tính $\cos φ = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Từ đó suy ra $φ$ , là góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có $Δ_{1}$ có vecto pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (1; 3)$ .

Phương trình tổng quát của $Δ_{2}$ là $3 x - y + 1 = 0$ , suy ra $\vec{n_{2}} = (3; - 1)$ .

Do $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.3 + 3. (- 1) = 0$ . Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Cách 2:

Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

$\cos φ = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| 1.3 + 3. (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0$ .

Do đó góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là $φ = 90^{o}$ .

LT3

Tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ , $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 1 + t^{'} \\ y = 5 + 3 t^{'} \end{cases}$ .

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ .

Bước 1: Xác định VTPT $\vec{n_{1}} (a_{1}, b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}, b_{2})$ tương ứng.

Bước 2: Tính $\cos φ = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ .

Từ đó suy ra $φ$ , là góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{u_{1}} = (1; - 2) \Rightarrow \vec{n_{1}} = (2; 1)$ và $\vec{u_{2}} = (1; 3) \Rightarrow \vec{n_{2}} = (3; - 1)$ .

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 2.3 + 1. (- 1) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .

LT4

Cho đường thẳng $Δ : y = a x + b$ , với $a \neq 0$ .

a) Chứng minh rằng $Δ$ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng $Δ_{o}$ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với $Δ$ .

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $α_{Δ}$ và $α_{Δ_{o}}$ .

d) Gọi M là giao điểm của $Δ_{o}$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_{o}$ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo $x_{o}$ và a. Từ đó, chứng minh rằng $\tan α_{Δ} = a$ .

Phương pháp giải:

a) Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.

b) Hai đường thẳng song có cùng vecto chỉ phương (hoặc pháp tuyến).

d) Sử dụng đinh nghĩa hàm số tang.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hệ phương trình: ${\begin{cases} y = 0 \\ y = a x + b \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} y = 0 \\ x = \frac{- b}{a} \end{cases}$ . Vậy đường thẳng $Δ$ cắt trục hoành tại điểm $(\frac{- b}{a}; 0)$ .

b) Phương trình đường thẳng $Δ_{o}$ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với $Δ$ là $y = a (x - 0) + 0 = a x$ .

c) Ta có: $α_{Δ} = α_{Δ_{o}}$ .

d) Từ câu b) và điều kiện $x_{o}^{2} + y_{o}^{2} = 1$ trong đó $y_{o}$ là tung độ của điểm M, ta suy ra $x_{o} \neq 0$ . Do đó: $\tan α_{Δ} = \tan α_{Δ_{o}} = \frac{y_{o}}{x_{o}} = a$ .