Giải mục 2 trang 39, 40, 41, 42

Hoạt động 2

Cho hàm số $u\left(x\right)=x^2$ và $v\left(x\right)=x$

a, Tính $u^{\prime }\left(x\right)$ và $v^{\prime }\left(x\right)$

b, Ở Ví dụ 4 của Bài 1 ta đã biết $(x^2+x{)}^{\prime }=2x+1$. Có nhận xét gì về mối liên hệ $[u\left(x\right)+v\left(x\right){]}^{\prime }$ và $u^{\prime }\left(x\right)$+ $v^{\prime }\left(x\right)$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $(x^n{)}^{\prime }=n.x^{n-1}$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $(x^2{)}^{\prime }=2.x^{2-1}=2x$

               $x^{\prime }=1.x^{1-1}=1$

b, Từ kết quả câu a, ta có: $[u\left(x\right)+v\left(x\right){]}^{\prime }$= $u^{\prime }\left(x\right)$+ $v^{\prime }\left(x\right)$

Luyện tập 2

Tính $f^{\prime }\left(1\right)$ và $f^{\prime }\left(4\right)$biết $f\left(x\right)=x^2+\sqrt{x}-\frac{1}{x}$

Phương pháp giải:

Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ dựa vào công thức: $(x^n{)}^{\prime }=n.x^{n-1}$, $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ và $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=\frac{-1}{x^2}$

Thay x=1, x=4 để tính $f^{\prime }\left(1\right)$, $f^{\prime }\left(4\right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^2+\sqrt{x}-\frac{1}{x}{)}^{\prime }=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}$

$f^{\prime }\left(1\right)=2.1+\frac{1}{2.1}+\frac{1}{1^2}=2+\frac{1}{2}+1=\frac{7}{2}$

$f^{\prime }\left(4\right)=2.4+\frac{1}{2.\sqrt{4}}+\frac{1}{4^2}=8+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{133}{16}$

Hoạt động 3

Cho hàm số $u\left(x\right)=x^3$ và $v\left(x\right)=x^2$

a, Tính đạo hàm của hàm số y= u(x).v(x)

b, Hoàn thành bảng 7.2

c, So sánh kết quả câu a và b và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a, Tính u(x). v(x) rồi tính đạo hàm theo công thức $(x^n{)}^{\prime }=n.x^{n-1}$

b, Tính $u^{\prime }\left(x\right)$ và $v^{\prime }\left(x\right)$  theo công thức $(x^n{)}^{\prime }=n.x^{n-1}$ và hoàn thành bảng

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $u\left(x\right).v\left(x\right)=x^3.x^2=x^5$

$\Rightarrow [u\left(x\right).v\left(x\right){]}^{\prime }=(x^5{)}^{\prime }=5x^4$

b, Bảng 7,2

c, Nhận xét: $[u\left(x\right).v\left(x\right){]}^{\prime }=$$u^{\prime }\left(x\right).v\left(x\right)+u\left(x\right).v^{\prime }\left(x\right)$

Luyện tập 3

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a, $y=(-2x^2+3x+1).\sqrt{x}$

b, $y=\frac{2x^2-1}{1-3x}$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức đạo hàm: $(u.v{)}^{\prime }=u^{\prime }.v+u.v^{\prime }$

                                                $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-u.v^{\prime }}{v^2}$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $\begin{array}{c}{y}^{\prime }=(-2x^2+3x+1{)}^{\prime }.\sqrt{x}+(-2x^2+3x+1).(\sqrt{x}{)}^{\prime }\\ =(-4x+3).\sqrt{x}+(-2x^2+3x+1).\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ =-4x\sqrt{x}+3\sqrt{x}-x\sqrt{x}+\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ =-5x\sqrt{x}+\frac{9}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$            

b, Ta có: $\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{{(2x^2-1)}^{\prime }.(1-3x)-(2x^2-1).{(1-3x)}^{\prime }}{{(1-3x)}^2}\\ =\frac{4x.(1-3x)-(2x^2-1).(-3)}{{(1-3x)}^2}=\frac{4x-12x^2+6x^2-3}{{(1-3x)}^2}\\ =\frac{4x-6x^2-3}{{(1-3x)}^2}\end{array}$

Vận dụng 1

Điện lượng Q ( đơn vị: C) truyền trong một dây dẫn tại thời điểm t ( giây) được tính bởi $Q\left(t\right)=t^3-3t^2+5t+1$. Biết rằng cường độ dòng điện tại thời điểm t là I(t) ( đơn vị :A) có giá trị bằng với $Q^{\prime }\left(t\right)$

a, Tính cường độ dòng điện tại thời điểm $t=\frac{1}{2}$ giây và t= 2 giây. Tại thời điểm nào thì cường độ dòng điện lớn hơn.

b, Tìm thời điểm mà cường độ dòng điện đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

a, Tính I(t) = $Q^{\prime }\left(t\right)$. Thay giá trị $t=\frac{1}{2}$ và t= 2

b, Áp dụng hằng đẳng thức tìm min.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: I(t) = $Q^{\prime }\left(t\right)=(t^3-3t^2+5t+1{)}^{\prime }=3t^2-6t+5$

Thay giá trị $t=\frac{1}{2}$ và t= 2 ta được:

$I\left(\frac{1}{2}\right)=3.(\frac{1}{2}{)}^2-6.\frac{1}{2}+5=\frac{3}{4}-3+5=\frac{11}{4}$

$I\left(2\right)={3.2}^2-6.2+5=5$

b, Ta có: $I\left(t\right)=3t^2-6t+5=3.(t^2-2t+1)+2=3.(t-1{)}^2+2$

Vì $(t-1{)}^2\ge 0\Rightarrow 3.(t-1{)}^2+2\ge 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của cường độ dòng điện là 2(A) tại t= 2 giây.

Hoạt động 4

Cho hai hàm số $f\left(u\right)=u^4$ và $u\left(x\right)=2x^2+1$

a, Tính giá trị của u(1) và f(u(1)

b, Trong biểu thức của f(u), nếu ta thay biến u bởi u(x) thì ta thu được một biểu thức theo biến x. Hãy viết ra biểu thức này.

Phương pháp giải:

Thay x=1 để tính u(1) và thay u(1) để tính f(u(1))

Lời giải chi tiết:

a, Thay x=1 ta được: $u\left(1\right)={2.1}^2+1=3$

Thay u(1)=3 vào f(u) ta được: f(u(1))=$3^4=81$

b, Ta có: $f\left(u\right)=u^4=(2x^2+1{)}^4$

Luyện tập 4

Hàm số $y=e^{3x-x^2}$ là hàm hợp của hai hàm số nào?

Phương pháp giải:

Hàm số là hàm hợp của $e^u$ và $u=3x-x^2$

Lời giải chi tiết:

Hàm số là hàm hợp của $e^u$ và $u=3x-x^2$

Hoạt động 5

Cho hàm số $f\left(u\right)=u^2$ và $u\left(x\right)=x^2+1$. Hàm hợp của hàm số f và u là $y=f\left(u\right(x\left)\right)=(x^2+1{)}^2$

a, Tìm $y^{\prime }$bằng cách khai triển biểu thức $(x^2+1{)}^2$và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng

b, Một học sinh cho rằng: Vì $(u^2{)}^{\prime }=2u$ nên $y^{\prime }=[(x^2+1{)}^2]=2(x^2+1)$. Kết quả này đúng hay sai.

c, Tính $f^{\prime }\left(u\right).u^{\prime }\left(x\right)$ và so sánh kết quả $y^{\prime }$ ở câu a, sau đó rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a, Sử dụng khai triển hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc tính đạo hàm

b, Dụa vào kết quả câu a và kết luận

c, Tính $f^{\prime }\left(u\right).u^{\prime }\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $(x^2+1{)}^2=x^4+2x^2+1$

$\Rightarrow y^{\prime }=(x^4+2x^2+1{)}^{\prime }=4x^3+4x$

b, Kết quả của câu b là sai

c, Ta có: 

 $\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(u\right)=2u\\ u^{\prime }\left(x\right)=2x\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(u\right).u^{\prime }\left(x\right)=2u.2x=2.(x^2+1).2x=4x^3+4x\end{array}$

Nhận xét: $f^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(u\right).u^{\prime }\left(x\right)$

Luyện tập 5

Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, $y=\sqrt{7-3x}$

b, $y=(2\sqrt{x}+\frac{1}{x}{)}^3$

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm của hàm hợp $f^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(u\right).u^{\prime }\left(x\right)$ và các quy tắc tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $y^{\prime }=(\sqrt{7-3x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{7-3x}}.(7-3x{)}^{\prime }=\frac{-3}{2.\sqrt{7-3x}}$

b, Ta có: $\begin{array}{c}{y}^{\prime }=3.(2\sqrt{x}+\frac{1}{x}{)}^2.(2\sqrt{x}+\frac{1}{x}{)}^{\prime }=3.(2\sqrt{x}+\frac{1}{x}).(2.\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2})\\ =3.(2.\sqrt{x}+\frac{1}{x}).(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2})\end{array}$