Giải mục 2 trang 39, 40

Hoạt động 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M (1; \frac{1}{2})$ thuộc $(C)$ .

a) Vẽ $(C)$ và tính $f^{'} (1)$ .

b) Vẽ đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và có hệ số góc bằng $f^{'} (1)$ . Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $(C)$ .

Phương pháp giải:

a) Tính giới hạn $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

b) Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0})$ có hệ số góc $k$ là: $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} f^{'} (1) = lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} (x^{2} - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} (x - 1) (x + 1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} \frac{1}{2} (x + 1) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1 \end{array}$

b) Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M (1; \frac{1}{2})$ và có hệ số góc bằng $k = f^{'} (1) = 1$ là: $y - \frac{1}{2} = 1 (x - 1) \Leftrightarrow y = x - 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = x - \frac{1}{2}$ .

Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ tại duy nhất điểm $M (1; \frac{1}{2})$ .

Thực hành 2

Cho $(C)$ là đồ thị của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ và điểm $M (1; 1) \in (C)$ . Tính hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ và viết phương trình tiếp tuyến đó.

Phương pháp giải:

Hệ số góc: $f^{'} (x_{0})$ .

Phương trình tiếp tuyến: $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ nên tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ có hệ số góc là: $f^{'} (1) = - \frac{1}{1^{2}} = 1$ .

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ là: $y - 1 = 1 (x - 1) \Leftrightarrow y = x$ .