Giải mục 2 trang 41

HĐ 3

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip $(E)$ với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm $M (x; y)$ thuộc elip $(E)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.

Lời giải chi tiết:

a) Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , ta xét Elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó $a > b > 0$ . Khi đó ta có:

+ Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là $P (- a; b), Q (a; b), R (a; - b), S (- a; - b)$

+ Bốn đỉnh của elip là trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật cơ sở

b) Nếu điểm $M (x; y)$ thuộc elip $(E)$ thì $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} \leq 1, \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \Leftrightarrow x^{2} \leq a^{2}, y^{2} \leq b^{2}$

$\Leftrightarrow - a \leq x \leq a, - b \leq y \leq b$ .

Dó đó mọi điểm của elip nếu không phải đỉnh thì đều nằm trong hình chữ nhật

Khi đó Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x là a và -a, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y là b và -b

Luyện tập - vận dụng 1

Viết phương trình chính tắc của elip, biết $A_{1} (- 4; 0), B_{2} (0; 2)$ là hai đỉnh của nó

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$ . Khi đó ta có 4 đỉnh là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0), B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b) .$

Lời giải chi tiết:

Ta có $A_{1} (- 4; 0), B_{2} (0; 2)$ là hai đỉnh của elip, suy ra $a = 4, b = 2$ .

Khi đó phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

HĐ 4

Quan sát elip $(E)$ phương trình chính tắc là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > b > 0$ và hình chữ nhật cơ sở PQRS của $(E)$ (Hình 5)

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{Q R}{P Q}$ của hình chữ nhật $P Q R S$

b) Tỉ số $\frac{Q R}{P Q}$ phản ánh đặc điểm gì của $(E)$ về hình dạng?

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , ta xét Elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó $a > b > 0$ . Khi đó ta có hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là $P (- a; b), Q (a; b), R (a; - b), S (- a; - b)$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là $P (- a; b), Q (a; b), R (a; - b), S (- a; - b)$

Suy ra $Q R = 2 b, P Q = 2 a \Rightarrow \frac{Q R}{P Q} = \frac{2 b}{2 a} = \frac{b}{a}$

b) Ta có $\frac{Q R}{P Q} = \frac{b}{a}$ , vì $0 < b < a$ nên $0 < \frac{b}{a} < 1$ . Tỉ số $\frac{b}{a}$ phản ánh cụ thể hình dạng của $(E)$ như sau:

+ Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng “dẹt”, do đó $(E)$ càng “gầy”

+ Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó $(E)$ càng “béo”