Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 43 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình 5).

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

b) So sánh hai vectơ $\overrightarrow{B{D}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$.

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

b) $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.

a) Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành và tính chất kết hợp của phép cộng.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$;$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vecto:

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, hình hộp và 2 vecto bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DF}$.

b) $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{HB}$.

KP4

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 45 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp $ABCD,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Trong mặt phẳng ($ABCD$), tìm vectơ hiệu $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$. Trong mặt phẳng ($A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), tìm vectơ hiệu $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$.

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$, $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$.

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hiệu và 2 vecto bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng quy tắc hiệu:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$.

b) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$, $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$.

c) Vì $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$.

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy thực hiện các phép toán sau đây:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}$.

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu và tính chất trung điểm.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$

$=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MN}$.

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{DN}$

$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{MN}$.

TH5

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\prime }A}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp và định lí Pytago.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=\sqrt{B{D}^2+D{D}^2}$

$=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2+D{D}^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$.

b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\prime }A}$

$=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C^{\prime }A}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}|=1$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Ba lực $\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2N; 3N; 4N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành và định lí Pytago.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $|\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{{F_2}^2+{F_3}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Độ lớn hợp lực của ba lực là: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{{F_1}^2+5^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$ N.