Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Gọi $M(x;y;z)$ là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào $?$. Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ thuộc $\left(\alpha \right)$ là:

$\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=?$

Hay:

$A(x-?)+B(y-?)+C(z-?)=0$ (*)

Đặt $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$ thì phương trình (*) trở thành:

$?x+?y+?z+D=0$

Phương pháp giải:

Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng $(x_0,y_0,z_0)$ và một vectơ pháp tuyến $(A,B,C)$. Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

hoặc:

$Ax+By+Cz+D=0$

Một điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng, vế trái bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$:

Giả sử mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Phương trình mặt phẳng là:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

hoặc dưới dạng khác:

$Ax+By+Cz+D=0$

với:

$D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$

Ý nghĩa điều kiện $\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$:

Điều kiện này biểu diễn rằng tích vô hướng giữa vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ (nối từ $M_0$ đến một điểm bất kỳ $M$) bằng 0, có nghĩa là hai vectơ này vuông góc, đảm bảo rằng điểm $M$ nằm trên mặt phẳng.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:

a) $\left(\alpha \right):x-5y+2=0;$

b) $\left(\beta \right):2y+3=0.$

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:

$Ax+By+Cz+D=0$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}=(A,B,C)$, trong đó $A$, $B$, $C$ là các hệ số của $x$, $y$, $z$ trong phương trình.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-5y+2=0$.

So sánh với phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$, ta có:

$A=1,B=-5,C=0$

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là:

$\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1,-5,0)$

b) Mặt phẳng $\left(\beta \right):2y+3=0$.

So sánh với phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$, ta có:

$A=0,B=2,C=0$

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\beta \right)$ là:

$\overrightarrow{n_{\beta }}=(0,2,0)$

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $M(1;1;1)$, $N(4;3;2)$, $P(5;2;1)$. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $P$ và vuông góc với $MN$.

Phương pháp giải:

- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $MN$ bằng cách lấy hiệu tọa độ của $N$ và $M$:

$\overrightarrow{MN}=N-M$

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là chính vectơ chỉ phương của đường thẳng $MN$, vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này.

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $P(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$ có dạng:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

hoặc

$Ax+By+Cz+D=0$

với $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$.

Lời giải chi tiết:

Tính vectơ chỉ phương của $MN$:

$\overrightarrow{MN}=N-M=(4-1,3-1,2-1)=(3,2,1)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là $\vec{n}=(3,2,1)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $P(5;2;1)$ có dạng:

$3(x-5)+2(y-2)+1(z-1)=0$

Khai triển biểu thức trên:

$3x-15+2y-4+z-1=0$

$3x+2y+z-20=0$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là:

$3x+2y+z-20=0$

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M(2;-1;3)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a}=(2;1;-2)$, $\vec{b}=(2;-1;0)$.

a) Tìm $[\vec{a},\vec{b}]$, và một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(P\right)$.

Phương pháp giải:

- Tính tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$. Công thức tính tích có hướng:

$\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1)$

- Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

hoặc

$Ax+By+Cz+D=0$

với $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$.

Lời giải chi tiết:

Tính tích có hướng $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}$:

$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 2& 1& -2\\ 2& -1& 0\end{array}\right|$

Tính từng bước:

$\vec{n}=i\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 0\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 0\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& -1\end{array}\right|$

$=i(1\cdot 0-(-2)\cdot (-1\left)\right)-j(2\cdot 0-(-2)\cdot 2)+k(2\cdot (-1)-1\cdot 2)$

$=i(0-2)-j(0+4)+k(-2-2)$

$=(-2,-4,-4)$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$\vec{n}=(-2,-4,-4)$

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M(2;-1;3)$:

$-2(x-2)-4(y+1)-4(z-3)=0$

Khai triển:

$-2x+4-4y-4-4z+12=0$

$-2x-4y-4z+12=0$

Chia cả hai vế cho $-2$:

$x+2y+2z-6=0$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(P\right)$ là: 

$x+2y+2z-6=0$

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a}=(1;-2;3)$, $\vec{b}=(3;2;-1)$, $\vec{c}=(-2;4;-6)$ và điểm $A(4;1;0)$. Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua $A$ và nhận hai trong ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ làm cặp vectơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

1. Chọn hai vectơ chỉ phương từ ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

2. Tìm tích có hướng của hai vectơ đã chọn để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

hoặc

$Ax+By+Cz+D=0$

với $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$.

Lời giải chi tiết:

- Mặt phẳng thứ nhất chứa $\vec{a}$ và $\vec{b}$:

Tích có hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$:

${\vec{n}}_1=i\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 2& -1\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& -1\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right|$

$=i(\left(-2\right)\cdot (-1)-3\cdot 2)-j(1\cdot (-1)-3\cdot 3)+k(1\cdot 2-(-2)\cdot 3)$

$=i(-2-6)-j(-1-9)+k(2+6)$

$=(-4,10,8)$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 là ${\vec{n}}_1=(-4,10,8)$. 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 1 đi qua điểm $A(4;1;0)$:

$-4(x-4)+10(y-1)+8(z-0)=0$

$-4x+16+10y-10+8z=0$

$-4x+10y+8z+6=0$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ nhất là:

$-4x+10y+8z+6=0$

- Mặt phẳng thứ hai chứa $\vec{a}$ và $\vec{c}$:

Tích có hướng của $\vec{a}$ và $\vec{c}$:

${\vec{n}}_2=i\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 4& -6\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& -6\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right|$

$=i\left(\right(-2)\cdot (-6)-3\cdot 4)-j(1\cdot (-6)-3\cdot (-2\left)\right)+k(1\cdot 4-(-2)\cdot (-2\left)\right)$

$=i(12-12)-j(-6+6)+k(4-4)$

$=(0,0,0)$

Kết quả cho thấy hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng phương, nên không tạo thành mặt phẳng mới. Chúng ta không cần xét tiếp trường hợp này.

- Mặt phẳng thứ 3 chứa $\vec{b}$ và $\vec{c}$:

Tích có hướng của $\vec{b}$ và $\vec{c}$:

${\vec{n}}_3=i\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -6\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& -6\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 4\end{array}\right|$

$=i(2\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)-j(3\cdot (-6)-(-1)\cdot (-2\left)\right)+k(3\cdot 4-2\cdot (-2\left)\right)$

$=i(-12+4)-j(-18-2)+k(12+4)$

$=(-8,-20,16)$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3 là ${\vec{n}}_3=(-8,-20,16)$. 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 3 đi qua điểm $A(4;1;0)$:

$-8(x-4)-20(y-1)+16(z-0)=0$

$-8x+32-20y+20+16z=0$

$-8x-20y+16z+52=0$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ 3 là:

$-8x-20y+16z+52=0$

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(4;-1;2)$, $B(1;4;-3)$, $C(3;-4;7)$.

a) Chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

b) Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

Phương pháp giải:

1. Để chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, tính hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Nếu hai vectơ này không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng.

2. Tìm tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

hoặc

$Ax+By+Cz+D=0$

với $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$.

Lời giải chi tiết:

a) Tính các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(1-4,4+1,-3-2)=(-3,5,-5)$

$\overrightarrow{AC}=C-A=(3-4,-4+1,7-2)=(-1,-3,5)$

Xét tỉ số giữa các tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$\frac{-3}{-1}=3,\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3},\frac{-5}{5}=-1$

Các tỉ số không bằng nhau, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó, ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

b) Tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$\vec{n}=i\left|\begin{array}{cc}5& -5\\ -3& 5\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& 5\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ -1& -3\end{array}\right|$

$=i(5\cdot 5-(-5)\cdot (-3\left)\right)-j\left(\right(-3)\cdot 5-(-5)\cdot (-1\left)\right)+k\left(\right(-3)\cdot (-3)-5\cdot (-1\left)\right)$

$=i(25-15)-j\left(\right(-15-5\left)\right)+k(9+5)$

$=(10,20,14)$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là $\vec{n}=(10,20,14)$.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $A(4;-1;2)$:

$10(x-4)+20(y+1)+14(z-2)=0$

$10x-40+20y+20+14z-28=0$

$10x+20y+14z-48=0$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là:

$10x+20y+14z-48=0$

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A(4;0;0)$, $B(0;-5;0)$, $C(0;0;6)$, $D(-5;3;4)$. Viết phương trình các mặt phẳng $\left(ABC\right)$, $\left(BCD\right)$, $\left(ABD\right)$, $\left(ACD\right)$.

Phương pháp giải:

1. Xác định các vectơ chỉ phương từ các điểm đã cho. Ví dụ, để viết phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$, ta tính hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương vừa tìm được.

3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$Ax+By+Cz+D=0$

với $(A,B,C)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$, trong đó $(x_0,y_0,z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

1. Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$:

Tính hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-4,-5-0,0-0)=(-4,-5,0)$

$\overrightarrow{AC}=C-A=(0-4,0-0,6-0)=(-4,0,6)$

Tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$\left((-5).6-0.0,0.(-4)-(-4).6,(-4).0-(-5).(-4)\right)$

$=(-30,24,-20)$

Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là:

$-30(x-4)+24(y-0)-20(z-0)=0$

$-30x+120+24y-20z=0$

$30x-24y+20z=120$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là:

$30x-24y+20z=120$

2. Phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$:

Tính hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$:

$\overrightarrow{BC}=C-B=(0-0,0-(-5),6-0)=(0,5,6)$

$\overrightarrow{BD}=D-B=(-5-0,3-(-5),4-0)=(-5,8,4)$

Tích có hướng của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$:

$\left(5.4-6.8,6.(-5)-0.4,0.8-(-5).5\right)$

$=(-28,-30,25)$

Phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là:

$-28(x-0)-30(y+5)+25(z-0)=0$

$-28x-30y-150+25z=0$

$28x+30y-25z=-150$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là:

$28x+30y-25z=-150$

3. Phương trình mặt phẳng $\left(ABD\right)$:

Tính hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AB}=(-4,-5,0)$

$\overrightarrow{AD}=D-A=(-5-4,3-0,4-0)=(-9,3,4)$

Tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\left((-5).4-0.3,0.(-9)-(-4).4,(-4).3-(-5).(-9)\right)$

$=(-20,16,-57)$

Phương trình mặt phẳng $\left(ABD\right)$ là:

$-20(x-4)+16(y-0)-57(z-0)=0$

$-20x+80+16y-57z=0$

$20x-16y+57z=80$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(ABD\right)$ là:

$20x-16y+57z=80$

4. Phương trình mặt phẳng $\left(ACD\right)$:

Tính hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AC}=(-4,0,6)$

$\overrightarrow{AD}=(-9,3,4)$

Tích có hướng của $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\left(0.4-6.3,6.(-9)-(-4).4,(-4).3-0.(-9)\right)$

$(-18,-38,-12)$

Phương trình mặt phẳng $\left(ACD\right)$ là:

$-18(x-4)-38(y-0)-12(z-0)=0$

$-18x+72-38y-12z=0$

$18x+38y+12z=72$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(ACD\right)$ là:

$18x+38y+12z=72$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ với độ dài $AB=9m$, $AD=5m$ và $BC=6m$ như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí $C$ bằng cách giữ nguyên độ cao ở $A$, giảm độ cao của sân ở vị trí $B$ và $D$ xuống thấp hơn độ cao ở $A$ lần lượt là $6cm$ và $3,6cm$. Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở $C$ xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở $A$?

Phương pháp giải:

- Ta coi các độ cao là tọa độ $z$ của các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trong không gian. Do độ cao của điểm $A$ không thay đổi, ta đặt $z_A=0$. Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng $Oxy$, ta có:

$A(0;0;0),B(9;0;-0,06),D(0;5;-0,036),C(x_C;y_C;z_C)$

- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm $A$, $B$, $D$ (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ $z$ của $C$ phải thỏa mãn phương trình này).

- Tìm tọa độ $z_C$ bằng cách giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

Gọi độ cao của các điểm $A,B,C,D$lần lượt là $z_A$, $z_B$, $z_C$, $z_D$. Theo đề bài, ta có:

$z_A=z_B=z_D=0.$

Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm $B,D$ được thay đổi như sau:

$z_B=-0,06m,z_D=-0,036m.$

Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ đi qua ba điểm $A(0;0;0)$, $B(9;0;-0,06)$, $D(0;5;-0,036)$. Phương trình mặt phẳng có dạng:

$Ax+By+Cz+D=0.$

Vì mặt phẳng đi qua $A(0;0;0)$, thay $A(0;0;0)$ vào phương trình ta được:

$D=0.$

Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:

$Ax+By+Cz=0.$

Tính hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AB}=(9;0;-0,06)$

$\overrightarrow{AD}=\left(0;5;-0,036\right)$

Tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$(0.(-0,036)-(-0,06).5;(-0,06).0-9.(-0,036);9.5-0.0)$

$=(0,3;0,324;45)$

Ta có phương trình mặt phẳng:

$0,3x+0,324y+45z=0$

Thay tọa độ $C(9;6;z_C)$ vào phương trình:

$0,3.\left(9\right)+0,324.\left(6\right)+45z_C=0$

$2,7+1,944+45z_C=0$

$z_C=-0,1032m$

Vậy độ cao của điểm $C$ cần giảm là:

$z_C=-0.1032m=-10.32cm.$

Bác An cần hạ độ cao của điểm $C$ xuống khoảng $10.32cm$ so với độ cao của điểm $A$.