Giải mục 2 trang 45, 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Cho dãy số $(u_{n})$ được viết dưới dạng khai triển $\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{4}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{7}, . . .$ . Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số trên.

Phương pháp giải:

Quan sát tử và mẫu của các số hạng, tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu của số hạng với $n$ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của dãy là $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n + 1}$ .

Luyện tập 2

Tính năm số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} (n + 1)}{n + 2}$

Phương pháp giải:

Thay $n = 1, 2, . . ., 5$ vào công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là: $u_{1} = \frac{{(- 1)}^{1} (1 + 1)}{1 + 2} = \frac{- 2}{3}$ , $u_{2} = \frac{{(- 1)}^{2} (2 + 1)}{2 + 2} = \frac{3}{4}$ , $u_{3} = \frac{{(- 1)}^{3} (3 + 1)}{3 + 2} = \frac{- 4}{5}$ , $u_{4} = \frac{{(- 1)}^{4} (4 + 1)}{4 + 2} = \frac{5}{6}$ , $u_{5} = \frac{{(- 1)}^{5} (5 + 1)}{5 + 2} = \frac{- 6}{7}$ .

Hoạt động 3

Viết dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

- Liệt kê các số nguyên tố từ bé đến lớn trong phạm vi từ 1 đến 50.

Lời giải chi tiết:

Dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Hoạt động 4

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi các điều kiện sau:

${\begin{cases} u_{1} = 1, u_{2} = 2 \\ u_{n} = u_{n - 1} + {(u_{n - 2})}^{2}, \forall n \geq 3 \end{cases}$

Hãy viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số $(u_{n})$ .

Phương pháp giải:

Thay $n = 3, 4, . . ., 6$ vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: $u_{1} = 1, u_{2} = 2, u_{3} = 2 + 1^{2} = 3$ , $u_{4} = 3 + 2^{2} = 7$ , $u_{5} = 7 + 3^{2} = 16$ , $u_{6} = 16 + 7^{2} = 65$

Luyện tập 3

Dãy số Fibonacci

Dãy Fibonacci là dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi: ${\begin{cases} u_{1} = u_{2} = 1 \\ u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 2} \end{cases}$ với $n \geq 3$ . Hãy viết mười số hạng đầu của dãy Fibonacci.

Phương pháp giải:

Thay $n = 3, 4, . . ., 10$ vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: $u_{1} = 1, u_{2} = 1, u_{3} = 1 + 1 = 2, u_{4} = 2 + 1 = 3, u_{5} = 3 + 2 = 5, u_{6} = 5 + 3 = 8, u_{7} = 8 + 5 = 13, u_{8} = 13 + 8 = 21, u_{9} = 21 + 13 = 34, u_{10} = 34 + 21 = 55$ .

Hoạt động 5

$\sqrt{2} = 1, 41421352...$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau: “ $u_{n}$ là số gần đúng của $\sqrt{2}$ có được bằng cách giữ lại phần nguyên và $n$ chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê bảy số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Bảy số hạng đầu của dãy số là:

$\begin{array}{l} u_{1} = 1, 4 \\ u_{2} = 1, 41 \\ u_{3} = 1, 414 \\ u_{4} = 1, 4142 \\ u_{5} = 1, 41421 \\ u_{6} = 1, 414213 \\ u_{7} = 1, 4142135 \end{array}$

Luyện tập 4

$π = 3, 14159263589...$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau: “ $u_{n}$ là số gần đúng của số $π$ có được bằng cách giữ lại phần nguyên và $2 n$ chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là:

$\begin{array}{l} u_{1} = 3, 14 \\ u_{2} = 3, 1415 \\ u_{3} = 3, 141592 \\ u_{4} = 3, 14159263 \\ u_{5} = 3, 1415926358 \end{array}$