Giải mục 2 trang 46, 47, 48, 49

HĐ3

Trên một tờ giấy kẻ caro có các đường kẻ ngang song song và cách đều nhau.

a) Vẽ một đường thẳng $d$ cắt các đường kẻ ngang của tờ giấy như trong Hình 5a. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng $MN;NP;PQ$ và $QE$.

b) Vẽ một tam giác $ABC$ rồi vẽ một đường thẳng song song với cạnh $BC$  và cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $B^{\prime }$ và $C^{\prime }$. Trên cạnh $AB$, lấy đoạn $AI$ làm đơn vị đo tính tỉ số $A{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$; trên cạnh $AC$, lấy đoạn $AJ$ làm đơn vị đo tính tỉ số $A{C}^{\prime }$ và $C^{\prime }C$ (Hình 5b).

So sánh các tỉ số $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}$ và $\frac{A{C}^{\prime }}{AC}$;$\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }B}$ và $\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }C}$;$\frac{B^{\prime }B}{AB}$ và $\frac{C^{\prime }C}{AC}$.

Phương pháp giải:

Tỉ số giữa hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi cùng đơn vị đo.

Lời giải chi tiết:

a) Quan sát hình vẽ ta thấy độ dài các đoạn thẳng $MN;NP;PQ$ và $QE$ đều bằng nhau.

b) Trên cạnh $AB$, lấy đoạn $AI$ làm đơn vị đo nên độ dài $A{B}^{\prime }=5AI;B{B}^{\prime }=2AI;$ Trên $AB=7AI$; cạnh $AC$, lấy đoạn $AJ$ làm đơn vị đo nên độ dài $A{C}^{\prime }=5AJ;C^{\prime }C=2AJ$;$AC=7AJ$.

Tỉ số $A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }B$ là $A{B}^{\prime }:B^{\prime }B=\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }B}=\frac{5AI}{2AI}=\frac{5}{2}$;

Tỉ số $A{C}^{\prime }$ và $C^{\prime }C$ là $A{C}^{\prime }:C^{\prime }C=\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }C}=\frac{5AJ}{2AJ}=\frac{5}{2}$.

Do đó,  $\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }B}=\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }C}=\frac{5}{2}$.

Ta có: $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{5AI}{7AI}=\frac{5}{7};\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{5AJ}{7AJ}=\frac{5}{7}$.

Do đó, $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{5}{7}$.

Ta có: $\frac{B^{\prime }B}{AB}=\frac{2AI}{7AI}=\frac{2}{7};\frac{C^{\prime }C}{AC}=\frac{2AJ}{7AJ}=\frac{2}{7}$.

Do đó, $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{2}{7}$.

TH3

Tính độ dài $x;y$ trong Hình 8.

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

a)

Xét tam giác $ABC$ có $d//BC$ mà $d$ cắt $AB;AC$ lần lượt tại $E$ và $F$nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{CF}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3}{1,5}$. Do đó, $x=\frac{2.3}{1,5}=4$.

Vậy $x=4$.

b) Ta có: $MN=NR+MR=2,5+5,5=8$

Xét tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ta có:

$M{N}^2+N{P}^2=M{P}^2$

$8^2+6^2=M{P}^2$

$100=M{P}^2\Rightarrow MP=\sqrt{100}=10$

Xét tam giác $MNP$ có $\{\begin{array}{c}RS\perp MN\\ NP\perp MN\end{array}\Rightarrow RS//NP$  (quan hệ từ vuông góc đến song song) nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{MR}{MN}=\frac{MS}{MP}\Rightarrow \frac{5,5}{8}=\frac{y}{10}$. Do đó, $y=\frac{5,5.10}{8}=6,875$.

Vậy $y=6,875$.

HĐ4

Cho tam giác $ABC$ có $AB=6cm,AC=8cm$ và $BC=10cm$. Lấy điểm $B^{\prime }$ trên $AB$ sao cho AB' = 2cm. Qua $B^{\prime }$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $AC$ tại $C^{\prime }$.

a) Tính $A{C}^{\prime }$.

b) Qua $C^{\prime }$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ và cắt $BC$ tại $D$. Tính $BD,B^{\prime }{C}^{\prime }$.

c) Tính và so sánh các tỉ số: $\frac{A{B}^{\prime }}{AB},\frac{A{C}^{\prime }}{AC}$ và $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng Định lí Thales

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác $ABC$ có $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A{C}^{\prime }}{AC}\Rightarrow \frac{2}{6}=\frac{A{C}^{\prime }}{8}$. Do đó, $A{C}^{\prime }=\frac{2.8}{6}=\frac{8}{3}\left(cm\right)$.

Vậy $A{C}^{\prime }=\frac{16}{3}cm$.

b) Xét tam giác $ABC$ có $C^{\prime }D//AB$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{BD}{BC}=\frac{A{C}^{\prime }}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{10}=\frac{\frac{8}{3}}{8}$. Do đó, $BD=\frac{10.\frac{8}{3}}{8}=\frac{10}{3}\left(cm\right)$.

Vậy $BD=\frac{10}{3}cm$.

Ta có: $B{B}^{\prime }=AB-A{B}^{\prime }=6-2=4cm$

Vì $\{\begin{array}{c}{B}^{\prime }{C}^{\prime }//BC\\ C^{\prime }D//AB\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{B}^{\prime }{C}^{\prime }//BD\\ C^{\prime }D//B^{\prime }B\end{array}$ (do $D\in BC;B^{\prime }\in AB$)

Xét tứ giác $B^{\prime }{C}^{\prime }DB$ có

$\{\begin{array}{c}{B}^{\prime }{C}^{\prime }//BD\\ C^{\prime }D//B^{\prime }B\end{array}\Rightarrow$ tứ giác $B^{\prime }{C}^{\prime }DB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=BD=\frac{10}{3}cm\\ B{B}^{\prime }=C^{\prime }D=4cm\end{array}$ (tính chất hình bình hành)

c) Ta có: $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3};\frac{B{C}^{\prime }}{BC}=\frac{\frac{10}{3}}{10}=\frac{1}{3}$

Do đó, $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$.

TH4

Tìm độ dài $x$ trên Hình 13.

Phương pháp giải:

Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác $OAB$ có $CD//AB$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}$ mà $OB=OD+DB=3,6+1,8=5,4$

Suy ra, $\frac{3,6}{5,4}=\frac{x}{7,8}\Rightarrow x=\frac{3,6.7,8}{5,4}=5,2$.

Vậy $x=5,2$.

VD2

Với số liệu đo đạc được ghi trên Hình 14, hãy tính bề rộng $CD$ của con kênh.

Phương pháp giải:

Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết:

Vì $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\Rightarrow BE//CD$ (hai góc đồng vị bằng nhau)

Trong tam giác $ACD$ có $BE//CD$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$ mà $AC=AB+BC=8+8=16$

Suy ra, $\frac{8}{16}=\frac{3}{CD}\Rightarrow CD=\frac{3.16}{8}=6$.

Vậy bề rộng $CD$ của con sông là 6m.

HĐ5

Cho tam giác $ABC$ có $AB=6cm,AC=15cm$. Trên $AB,AC$ lần lượt lấy $B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $A{B}^{\prime }=2cm;A{C}^{\prime }=5cm$.

a) Tính các tỉ số $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}$ và $\frac{A{C}^{\prime }}{AC}$.

b) Qua $B^{\prime }$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AC$  tại $E$. Tính $AE$.

c) So sánh $AE$ và $A{C}^{\prime }$.

d) Hãy nhận xét về vị trí của $E$ và $C^{\prime }$, vị trí của hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }E$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng Định lí Thales

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

 $\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ và $\frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.

b) Vì $B^{\prime }E//BC$  và$B^{\prime }E$ cắt $AC$ tại $E$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow \frac{2}{6}=\frac{AE}{15}\Rightarrow AE=\frac{2.15}{6}=5cm$

c) Ta có: $AE=A{C}^{\prime }=5cm$.

d) Điểm $E\equiv C^{\prime }$ và đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }\equiv B^{\prime }E$.

TH5

Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong mỗi hình dưới đây.

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải chi tiết:

a) $AB=AM+MB=1+2=3;AC=AN+NC=2+4=6;BC=BP+PC=2+3=5$

 Ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3};\frac{AN}{AC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Vì $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$ nên theo định lí Thales đảo trong tam giác $ABC$, ta có $MN//BC$.

Ta có: $\frac{CN}{CA}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{CP}{CB}=\frac{3}{5}$.

Vì $\frac{CN}{AC}\ne \frac{CP}{BC}\left(\frac{2}{3}\ne \frac{3}{5}\right)$ nên theo định lí Thales đảo trong tam giác $ABC$, ta có $NP$ không song song với $BC$.

b) Vì $\widehat{B^{\prime \prime }{A}^{\prime \prime }O}=\widehat{O{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }//A^{\prime }{B}^{\prime }$.

$OA=O{A}^{\prime }+A^{\prime }A=2+3=5;OB=O{B}^{\prime }+B^{\prime }B=3+4,5=7,5$

Ta có: $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{2}{5};\frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{3}{7,5}=\frac{2}{5}$.

Vì $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{2}{5}$ nên theo định lí Thales đảo trong tam giác $OAB$, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB$.

Vì $\{\begin{array}{c}{A}^{\prime }{B}^{\prime }//AB\\ A^{\prime }{B}^{\prime }//A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }\end{array}\Rightarrow AB//A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }$.

VD3

Đo chiều cao $AB$ của một tòa nhà bằng hai cây cọc $FE,DK$, một sợi dây và một thước cuộn như sau:

- Đặt cọc $FE$ cố định, di chuyển cọc $DK$ sao cho nhìn thấy $K,F,A$ thẳng hàng.

- Căng thẳng dây $FC$ đi qua $K$ và cắt mặt đất tại $C$.

- Đo khoảng cách $BC$ và $DC$ trên mặt đất.

Cho biết $DK=1m,BC=24m,DC=1,2m$. Tính chiều cao $AB$ của tòa nhà.

Phương pháp giải:

Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết:

Vì $\{\begin{array}{c}KD\perp BC\\ AB\perp BC\end{array}\Rightarrow KD//AB$.

Xét tam giác $CAB$ có $KD//AB\Rightarrow \frac{KD}{AB}=\frac{DC}{BC}$ (hệ quả của định lí Thales).

$\Rightarrow \frac{1}{AB}=\frac{1,2}{24}\Rightarrow AB=\frac{24.1}{1,2}=20m$

Vậy chiều cao $AB$ của tòa nhà là 20m.