Giải mục 2 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 46 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho các dãy số $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n}), (d_{n})$ được xác định như sau.

• $a_{1} = 0; a_{2} = 1; a_{3} = 2; a_{4} = 3; a_{5} = 4$ .

• $b_{n} = 2 n$ .

• ${\begin{cases} c_{1} = 1 \\ c_{n} = c_{n - 1} + 1 (n \geq 2) \end{cases}$ .

• $d_{n}$ là chu vi của đường tròn có bán kính $n$ .

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Phương pháp giải:

• Lần lượt thay giá trị $n = 1; 2; 3; 4$ vào biểu thức $b_{n}$ .

• Lần lượt thay giá trị $n = 2; 3; 4$ vào biểu thức $c_{n}$ .

• Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn có bán kính $n$ là $d_{n} = 2 π n$ rồi lần lượt thay giá trị $n = 1; 2; 3; 4$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$a_{1} = 0; a_{2} = 1; a_{3} = 2; a_{4} = 3; a_{5} = 4$ .

$b_{1} = 2.1 = 2; b_{2} = 2.2 = 4$ ;

$b_{3} = 2.3 = 6; b_{4} = 2.4 = 8$ .

$c_{1} = 1; c_{2} = c_{1} + 1 = 1 + 1 = 2$ ;

$c_{3} = c_{2} + 1 = 2 + 1 = 3; c_{4} = c_{3} + 1 = 3 + 1 = 4$ .

+ Chu vi đường tròn có bán kính $n$ là $d_{n} = 2 π n$ .

Ta có: $d_{1} = 2 π .1 = 2 π; d_{2} = 2 π .2 = 4 π; d_{3} = 2 π .3 = 6 π; d_{4} = 2 π .4 = 8 π$ .

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 21 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: ${\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = 2 u_{n} (n \geq 1) \end{cases}$ .

a) Chứng minh $u_{2} = 2.3; u_{3} = 2^{2} .3; u_{4} = 2^{3} .3$ .

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$ .

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay giá trị $n = 1; 2; 3$ vào biểu thức $u_{n + 1}$ .

b) Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số $(u_{n})$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $u_{2} = 2 u_{1} = 2.3; u_{3} = 2 u_{2} = 2.2.3 = 2^{2} .3; u_{4} = 2 u_{3} = {2.2}^{2} .3 = 2^{3} .3$

b) $u_{n} = 2^{n - 1} .3$ .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 47 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi $u_{n}$ là số cột gỗ nằm ở lớp thứ 2 tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số $(u_{n})$ bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ .

b) Viết hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Dựa vào số cột gỗ ở mỗi lớp và điều kiện đề bài là hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} u_{1} = 14 = 13 + 1 \\ u_{2} = 15 = 13 + 2 \\ u_{3} = 16 = 13 + 3 \\ ⋮ \end{array}$

Vậy công thức số hạng tổng quát: $u_{n} = 13 + n$ .

b) Ta có:

$\begin{array}{l} u_{1} = 14 \\ u_{2} = 15 = u_{1} + 1 \\ u_{3} = 16 = u_{2} + 1 \\ ⋮ \end{array}$

Vậy công thức truy hồi: $u_{n} = u_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ .