Giải mục 2 trang 46, 47

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 46 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho các dãy số $\left(a_n\right),\left(b_n\right),\left(c_n\right),\left(d_n\right)$ được xác định như sau.

• $a_1=0;a_2=1;a_3=2;a_4=3;a_5=4$.

• $b_n=2n$.

• $\{\begin{array}{c}{c}_1=1\\ c_n=c_{n-1}+1\left(n\ge 2\right)\end{array}$.      

• $d_n$ là chu vi của đường tròn có bán kính $n$.

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Phương pháp giải:

• Lần lượt thay giá trị $n=1;2;3;4$ vào biểu thức $b_n$.

• Lần lượt thay giá trị $n=2;3;4$ vào biểu thức $c_n$.

• Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn có bán kính $n$ là $d_n=2\pi n$ rồi lần lượt thay giá trị $n=1;2;3;4$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$a_1=0;a_2=1;a_3=2;a_4=3;a_5=4$.

$b_1=2.1=2;b_2=2.2=4$;

$b_3=2.3=6;b_4=2.4=8$.

 $c_1=1;c_2=c_1+1=1+1=2$;

$c_3=c_2+1=2+1=3;c_4=c_3+1=3+1=4$.

+ Chu vi đường tròn có bán kính $n$ là $d_n=2\pi n$.

Ta có: $d_1=2\pi .1=2\pi ;d_2=2\pi .2=4\pi ;d_3=2\pi .3=6\pi ;d_4=2\pi .4=8\pi$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 21 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi: $\{\begin{array}{c}{u}_1=3\\ u_{n+1}=2u_n\left(n\ge 1\right)\end{array}$.

a) Chứng minh $u_2=2.3;u_3=2^2.3;u_4=2^3.3$.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$.

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay giá trị $n=1;2;3$ vào biểu thức $u_{n+1}$.

b) Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số $\left(u_n\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $u_2=2u_1=2.3;u_3=2u_2=\mathrm{2.2.3}=2^2.3;u_4=2u_3={2.2}^2.3=2^3.3$

b) $u_n=2^{n-1}.3$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 47 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi $u_n$ là số cột gỗ nằm ở lớp thứ 2 tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số $\left(u_n\right)$ bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_n$.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Dựa vào số cột gỗ ở mỗi lớp và điều kiện đề bài là hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{c}{u}_1=14=13+1\\ u_2=15=13+2\\ u_3=16=13+3\\ ⋮\end{array}$

Vậy công thức số hạng tổng quát: $u_n=13+n$.

b) Ta có:

$\begin{array}{c}{u}_1=14\\ u_2=15=u_1+1\\ u_3=16=u_2+1\\ ⋮\end{array}$

Vậy công thức truy hồi: $u_n=u_{n-1}+1\left(n\ge 2\right)$.