Giải mục 2 trang 46, 47

Hoạt động 2

Một vật chuyển động thẳng với phương trình $s\left(t\right)=t^3+t$, với $s$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t$.

b) Cho biết gia tốc trung bình (đơn vị $m/s^2$) của vật trong khoảng thời gian $\left[t_0;t\right]$ được tính bởi công thức $a_{tb}=\frac{v\left(t\right)-v\left(t_0\right)}{t-t_0}$. Hãy tính gia tốc trung bình trong các khoảng thời gian $\left[t_0;t\right]$ với $t_0=2$ và $t$ lần lượt là $2,1$; $2,01$; $2,001$. Sau đó, hoàn thành Bảng 7.3.

Phương pháp giải:

a) $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)$; công thức tính đạo hàm ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n.x^{n-1}$

b) Tính $a_{tb}=\frac{v\left(t\right)-v\left(t_0\right)}{t-t_0}$. Sau đó thay $t$ và $t_0$ vào $a_{tb}$

Lời giải chi tiết:

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ là $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)={\left(t^3+t\right)}^{\prime }=3t^2+1$

b) $v\left(t\right)-v\left(t_0\right)=\left(3t^2+1\right)-\left(3t_0^2+1\right)=3\left(t-t_0\right)\left(t+t_0\right)$

Suy ra $a_{tb}=\frac{v\left(t\right)-v\left(t_0\right)}{t-t_0}=3\left(t+t_0\right)$ tại $t_0=2$ là $a_{tb}=3\left(t+2\right)$

+) Với $t=2,1$ ta có $a_{tb}=3.\left(2,1+2\right)=12,3$

+) Với $t=2,01$ ta có $a_{tb}=3.\left(2,01+2\right)=12,03$

+) Với $t=2,001$ ta có $a_{tb}=3.\left(2,001+2\right)=12,003$

Vậy ta có bảng sau

Luyện tập 2

Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo dao động quanh vị trí cân bằng $O$ là $x=4\cos 2t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $x$ tính bằng $cm$. Tính gia tốc của con lắc tại thời điểm $t$.

Phương pháp giải:

+) $a\left(t\right)=x^{\prime \prime }\left(t\right)$

+) $\left(\cos u\right)=-u^{\prime }.\sin u;\left(\sin u\right)=u^{\prime }.\cos u$

Lời giải chi tiết:

Ta có $x^{\prime }={\left(4\cos 2t\right)}^{\prime }=-4.\sin 2t.{\left(2t\right)}^{\prime }=-8\sin 2t$

$a\left(t\right)=x^{\prime \prime }=-8.\cos 2t.{\left(2t\right)}^{\prime }=-16\cos 2t$