Giải mục 2 trang 48, 49, 50, 51, 52, 53

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{array}$, $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2t^{\prime }\\ y=7+4t^{\prime }\\ z=2+6t^{\prime }\end{array}$; $d^{\prime \prime }:\{\begin{array}{c}x=5+2t^{\prime \prime }\\ y=3+4t^{\prime \prime }\\ z=4+6t^{\prime \prime }\end{array}$.

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của $d$, $d^{\prime }$ và $d^{\prime \prime }.$

b) Xét điểm $M\left(4;1;1\right)$ nằm trên $d$. Điểm $M$ có nằm trên $d^{\prime }$ hoặc $d^{\prime \prime }$ không?

c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa $d$ và $d^{\prime }$, $d$ và $d^{\prime \prime }$?

Phương pháp giải:

a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ và $d^{\prime \prime }$ và nhận xét.

b) Thay hoành độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ để tìm giá trị của tham số $t^{\prime }$, sau đó thay tung độ, cao độ của $M$ và giá trị của tham số vừa tìm được vào các phương trình còn lại của đường thẳng $d^{\prime }$ để nhận xét điểm $M$ có nằm trên $d^{\prime }$ hay không. Thực hiện tương tự để nhận xét điểm $M$ có nằm trên $d^{\prime \prime }$ hay không.

c) Từ câu b, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Các đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ và $d^{\prime \prime }$ có các vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u}\left(1;2;3\right)$, ${\vec{u}}^{\prime }\left(2;4;6\right)$ và ${\vec{u}}^{\prime \prime }\left(2;4;6\right)$.

Ta có $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ nên ba vectơ $\vec{u}$, ${\vec{u}}^{\prime }$ và ${\vec{u}}^{\prime \prime }$ là các vectơ cùng phương. Suy ra $d$, $d^{\prime }$ và $d^{\prime \prime }$ hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Thay hoành độ điểm $M$ vào phương trình $x=2t^{\prime }$ ta có $4=2t^{\prime }$, suy ra $t^{\prime }=2$.

Thay $y=1$ và $t^{\prime }=2$ vào phương trình $y=7+4t^{\prime }$, ta có $1=7+4.2$. Điều này là vô lí. Vậy điểm $M$ không thuộc $d^{\prime }$.

Thay hoành độ điểm $M$ vào phương trình $x=5+2t^{\prime \prime }$ ta có $4=5+2t^{\prime \prime }$, suy ra $t^{\prime \prime }=-\frac{1}{2}$.

Thay $y=1$, $z=1$ và $t^{\prime \prime }=-\frac{1}{2}$ vào các phương trình còn lại của đường thẳng $d^{\prime \prime }$, ta có $\{\begin{array}{c}1=3+4.\frac{-1}{2}\\ 1=4+6.\frac{-1}{2}\end{array}$. Các phương trình đều thoả mãn. Vậy điểm $M$ thuộc $d^{\prime \prime }$.

c) Từ các câu a và b, ta có $d$, $d^{\prime }$ và $d^{\prime \prime }$ hoặc song song hoặc trùng nhau; điểm $M$ thuộc $d$ và $d^{\prime \prime }$, $M$ không thuộc $d^{\prime }$. Vậy ta suy ra $d\parallel d^{\prime }$ và $d\equiv d^{\prime \prime }$.

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:

a) $d:\{\begin{array}{c}x=7+4t\\ y=3-2t\\ z=2-2t\end{array}$ và $d^{\prime }:\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-4}{-1}.$

b) $d:\frac{x}{3}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{4}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{3}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-5}{4}.$

Phương pháp giải:

Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d$ đi qua $M\left(7;3;2\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}=\left(4;-2;-2\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }=\left(2;-1;-1\right)=\frac{1}{2}\vec{a}$.

Thay toạ độ điểm $M\left(7;3;2\right)$ vào phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ ta có:

$\frac{7-3}{2}=\frac{3-5}{-1}=\frac{2-4}{-1}$. Phương trình thoả mãn, vậy $M$ thuộc $d^{\prime }$. Suy ra $d\equiv d^{\prime }$.

b) Đường thẳng $d$ đi qua $N\left(0;0;1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}=\left(3;3;4\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }=\left(3;4;4\right)=\vec{a}$.

Thay toạ độ điểm $N\left(0;0;1\right)$ vào phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ ta có:

$\frac{0-2}{3}=\frac{0-9}{3}=\frac{1-5}{4}$. Phương trình không thoả mãn, vậy $N$ không thuộc $d^{\prime }$. Suy ra $d\parallel d^{\prime }$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục $d$ của mũi khoan và trục $d^{\prime }$ của giá đỡ có phương trình lần lượt là $d:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\\ z=1+t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=10\\ y=20\\ z=5+5t^{\prime }\end{array}$

Phương pháp giải:

Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.

Lời giải chi tiết:

Trục $d$ của mũi khoan đi qua điểm $M\left(1;1;1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}=\left(0;0;1\right)$.

Trục $d^{\prime }$ của giá đỡ có vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }=\left(0;0;5\right)=5\vec{a}$.

Thay toạ độ điểm $M\left(1;1;1\right)$ vào phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ ta có:

$\{\begin{array}{c}1=10\\ 1=20\\ 1=5+5t\end{array}$. Điều này là vô lí. Vậy trục của mũi khoan song song với trục của giá đỡ.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2-2t^{\prime }\\ y=-2+t^{\prime }\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$ và $d^{\prime \prime }:\{\begin{array}{c}x=2-2t^{\prime \prime }\\ y=-2+t^{\prime \prime }\\ z=3+3t^{\prime \prime }\end{array}$

a) Đường thẳng $d^{\prime }$ và đường thẳng $d^{\prime \prime }$ có song song hay trùng với đường thẳng $d$ không?

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime }\\ 3-t=1+3t^{\prime }\end{array}$ (ẩn $t$ và $t^{\prime }$).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $d^{\prime }.$

c) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime \prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime \prime }\\ 3-t=3+3t^{\prime \prime }\end{array}$ (ẩn $t$ và $t^{\prime \prime }$).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $d^{\prime \prime }.$

Phương pháp giải:

a) Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, nhận xét các vectơ có cùng phương hay không, từ đó kết luận.

b) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.

c) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ và $d^{\prime \prime }$ lần lượt là $\vec{u}=\left(1;3;-1\right)$, ${\vec{u}}^{\prime }=\left(-2;1;3\right)$ và ${\vec{u}}^{\prime \prime }=\left(-2;1;3\right)$.

Ta thấy rằng $\frac{1}{-2}\ne \frac{3}{1}$, nên vectơ $\vec{u}$ không cùng phương với các vectơ ${\vec{u}}^{\prime }$ và ${\vec{u}}^{\prime \prime }$.

Suy ra đường thẳng $d^{\prime }$ và đường thẳng $d^{\prime \prime }$ không song song hay trùng với đường thẳng $d$.

b) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:

 $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t+2t^{\prime }=1\\ 3t-t^{\prime }=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}7t=-7\\ t+2t^{\prime }=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t=-1\\ t^{\prime }=1\end{array}.$

Thay $t=-1$ và $t^{\prime }=1$ vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình thoả mãn (do $4=4$). Vậy $t=-1$ và $t^{\prime }=1$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Suy ra hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ có điểm chung, tức chúng cắt nhau.

c) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:

 $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t+2t^{\prime }=1\\ 3t-t^{\prime }=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}7t=-7\\ t+2t^{\prime }=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t=-1\\ t^{\prime }=1\end{array}.$

Thay $t=-1$ và $t^{\prime }=1$ vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình không thoả mãn (do $4\ne 6$). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Suy ra hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime \prime }$ không có điểm chung, tức chúng chéo nhau.

TH7

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=1-t\\ z=2-3t\end{array}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{4}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{11}.$

b) $d:\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{9}.$

Phương pháp giải:

Chỉ ra một vectơ chỉ phương $\vec{a}$ và một điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d.$

Chỉ ra một vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }$ và một điểm $M^{\prime }$ nằm trên đường thẳng $d^{\prime }.$

Tính tích có hướng $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right]$, sau đó tính tích vô hướng $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$. Nếu tích vô hướng bằng 0, hai đường thẳng cắt nhau, ngược lại thì hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d$ đi qua $M\left(0;1;2\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{a}=\left(2;-1;-3\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $M^{\prime }\left(2;0;-1\right)$ và có một vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }=\left(4;7;11\right)$.

Ta có $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right]=\left(10;-34;18\right)$ và $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(2;-1;-3\right)$

Suy ra $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=10.2+\left(-34\right)\left(-1\right)+18.\left(-3\right)=0$.

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau.

b) Đường thẳng $d$ đi qua $M\left(4;1;1\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{a}=\left(1;2;2\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $M^{\prime }\left(2;1;1\right)$ và có một vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }=\left(3;2;9\right)$.

Ta có $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right]=\left(14;-3;-4\right)$ và $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(-2;0;0\right)$

Suy ra $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=14.\left(-2\right)+\left(-3\right).0+\left(-4\right).0=-28\ne 0.$

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ chéo nhau.

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng $d$ trên trụ cầu và đường thẳng $d^{\prime }$ trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: $d:\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\\ z=50+t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=20\\ y=t^{\prime }\\ z=50\end{array}$.

Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d^{\prime }.$

Phương pháp giải:

Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không. Sau đó, viết phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ dưới dạng tham số, và giải hệ phương trình. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, hai đường thẳng đó cắt nhau; nếu hệ vô nghiệm, hai đường thẳng đó chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left(0;0;50\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{a}=\left(0;0;1\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $M^{\prime }\left(20;0;50\right)$ và có một vectơ chỉ phương ${\vec{a}}^{\prime }=\left(0;1;0\right)$.

Ta có $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right]=\left(-1;0;0\right)$ và $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\left(20;0;0\right)$.

Suy ra $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(-1\right).20+0.0+0.0=-20\ne 0.$

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ chéo nhau.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=1+2t\\ z=1-t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=t^{\prime }\\ y=7+4t^{\prime }\\ z=9t^{\prime }\end{array}$.

a) Tìm vectơ chỉ phương $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{\prime }$ lần lượt của $d$ và $d^{\prime }.$

b) Tính tích vô hướng $\vec{a}.{\vec{a}}^{\prime }$. Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }?$

Phương pháp giải:

a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng.

b) Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tính $\vec{a}.{\vec{a}}^{\prime }$ và rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(1;2;-1\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{\prime }=\left(1;4;9\right)$.

b) Ta có $\vec{a}.{\vec{a}}^{\prime }=1.1+2.4+\left(-1\right).9=0$. Suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{\prime }$ có giá vuông góc với nhau. Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ vuông góc với nhau.

TH8

Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=-2+t\\ y=t\\ z=-6+2t\end{array}$.

b) $d:\frac{x+2}{7}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{1}$ và $d^{\prime }:\frac{x+2}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-5}{2}.$

Phương pháp giải:

Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ đó.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(1;-3;1\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{\prime }=\left(1;1;2\right)$.

Ta có $\vec{a}.{\vec{a}}^{\prime }=1.1+\left(-3\right).1+1.2=0.$

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(7;3;1\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{\prime }=\left(2;2;2\right)$.

Ta có $\vec{a}.{\vec{a}}^{\prime }=7.2+3.2+2.2=24\ne 0.$

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ không vuông góc với nhau.

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn sứng trong không gian $Oxyz$. Cho biết trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d^{\prime }$ có phương trình lần lượt là $d:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=20\\ z=9\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=10\\ y=20\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$. Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d^{\prime }$, chúng có vuông góc với nhau không?

Phương pháp giải:

Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ đó.

Lời giải chi tiết:

Trục $d$ của nòng súng có một vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(1;0;0\right)$.

Cọc đỡ bia $d^{\prime }$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{\prime }=\left(0;0;3\right).$

Ta có $\vec{a}.{\vec{a}}^{\prime }=1.0+0.0+0.3=0.$

Vậy $d$ và $d^{\prime }$ vuông góc với nhau.

Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{c}t=10\\ 20=20\\ 9=1+3t^{\prime }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t=10\\ t^{\prime }=\frac{8}{3}\end{array}$.

Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, do đó $d$ cắt $d^{\prime }.$