Giải mục 2 trang 49, 50, 51, 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

HĐ2

Cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc hypebol có hai tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ , độ dài trục thực bằng 2a.

a) Tính $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}$

b) Giả sử $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_{2} (a; 0)$ , tức là, $M F_{1} - M F_{2} = 2 a$ . Tính $M F_{1} + M F_{2}, M F_{1}, M F_{2} .$

c) Giả sử $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_{1} (- a; 0)$ , tức là, $M F_{2} - M F_{1} = 2 a$ . Tính $M F_{1} + M F_{2}, M F_{1}, M F_{2} .$

Lời giải chi tiết:

a) Tính $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}$

Ta có: $- -- \to M F_{1} (- c - x_{0}; - y_{0}); - -- \to M F_{2} (c - x_{0}; - y_{0})$

$\Rightarrow M {F_{1}}^{2} = (- c - x_{0})^{2} + (- y_{0})^{2}; M {F_{2}}^{2} = (c - x_{0})^{2} + (- y_{0})^{2}$

$\Rightarrow M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2} = (- c - x_{0})^{2} - (c - x_{0})^{2} = 4 c x_{0}$

b) Khi điểm M $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_{2} (a; 0)$ ( $M F_{1} - M F_{2} = 2 a$ ),

c) Khi điểm thuộc nhánh chứa đỉnh (),

Câu hỏi

Hiệu độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol có mối quan hệ gì với độ dài trục thực?

Lời giải chi tiết:

Nếu thuộc nhánh chứa đỉnh thì

Luyện tập 2

Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng . Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Phương pháp giải:

Độ dài trục thực bằng , độ dài trục ảo bằng .

Với thuộc hypebol ta có:

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục thực bằng

Độ dài trục ảo bằng .

Với thuộc hypebol ta có:

Luyện tập 3

Cho hypebol với hai tiêu điểm . Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính qua tiêu nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm

Phương pháp giải:

nhỏ nhất bằng khi M trùng đỉnh

Lời giải chi tiết:

Xét hypebol với hai tiêu điểm , ta có:

.

nhỏ nhất bằng khi M trùng đỉnh

Khi đó,

HĐ3

Cho hypebol có phương trình chính tắc , với các tiêu điểm ở đây (H.3.6). Xét các đường thẳng và .

Với điểm M (x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số và theo a và c.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

;

Vậy

Luyện tập 4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc, có tâm sai và một đường chuẩn là . Lập phương trình chính tắc của (H).

Phương pháp giải:

Cho hypebol có phương trình chính tắc .

+ Tâm sai của hypebol:

+ Đường chuẩn: và .

Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng: .

Vì nên

+ Đường chuẩn:

+ Tâm sai của hypebol:

Phương trình chính tắc của hypebol là: .

Vận dụng

Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt trời là km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15). Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với km trên thực tế.

Phương pháp giải:

Cho PTCT: , là một tiêu điểm.

Điểm M bất kì thuộc hypebol, khi đó:

nhỏ nhất bằng khi M trùng đỉnh

+ Tâm sai của hypebol:

Lời giải chi tiết:

km = 3 đơn vị.

Gọi PTCT của quỹ đạo hình hypebol đó là: ,

Giả sử Mặt trời là tiêu điểm .

Điểm M bất kì thuộc hypebol là vị trí của sao chổi trong quỹ đạo, khi đó:

nhỏ nhất bằng khi M trùng đỉnh

Tâm sai của hypebol là:

PTCT của hypebol là: ,