Giải mục 2 trang 49, 50, 51 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Lấy điểm A’ khác A và vẽ các vectơ $\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{a}, \vec{B^{'} C^{'}} = \vec{b}$ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}}$ và $\vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}}$ .

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải thích: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\vec{A B} = \vec{a}$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Vì $\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{a}$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{A^{'} B^{'}}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ $\vec{A^{'} B^{'}}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và $A B = A^{'} B^{'}$ . Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và $A A^{'} = B B^{'} \Rightarrow$ hai vectơ $\vec{A A^{'}}, \vec{B B^{'}}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}}$ .

Vì $\vec{B C} = \vec{b}$ nên hai vectơ $\vec{b}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Vì $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{b}$ nên hai vectơ $\vec{b}$ và $\vec{B^{'} C^{'}}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B^{'} C^{'}}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và $B C = B^{'} C^{'}$ . Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và $C C^{'} = B B^{'} \Rightarrow$ hai vectơ $\vec{B B^{'}}, \vec{C C^{'}}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, $\vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}}$ .

b) Vì hai vectơ $\vec{A A^{'}}, \vec{B B^{'}}$ có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ $\vec{B B^{'}}, \vec{C C^{'}}$ có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{C C^{'}}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và $A A^{'} = C C^{'}$ nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, $A C = A^{'} C^{'}$ và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ $\vec{A C}, \vec{A^{'} C^{'}}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$ .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ $\vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}}$ .

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, $\vec{C^{'} D^{'}} = \vec{C D}$ .

Ta có: $\vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}} = \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$ .

Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên $| \vec{A D} | = 1$ .

Vậy $| \vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}} | = 1$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{D B} + \vec{C B} + \vec{B D}$

$= (\vec{A D} + \vec{C B}) + (\vec{D B} + \vec{B D})$

$= \vec{A D} + \vec{C B} + \vec{D D} = \vec{A D} + \vec{C B}$ (đpcm).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ $\vec{A B} + \vec{A D}$ và $\vec{A C}$ có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ và $\vec{A C^{'}}$ có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C} + \vec{A A^{'}}$ (1)

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’ // DD’, $A A^{'} = D D^{'}$ và $D D^{'} = C C^{'}$ , DD’ // CC’. Suy ra, AA’ // CC’ và $A A^{'} = C C^{'}$ . Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: $\vec{A C} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

CH

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

Lời giải chi tiết:

Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là: $\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B^{'}} = \vec{B D^{'}}$ .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\vec{B B^{'}} + \vec{C D} + \vec{A D} = \vec{B D^{'}}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\vec{A D} = \vec{B C}, \vec{C D} = \vec{B A}$ .

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên $\vec{B B^{'}} + \vec{B A} + \vec{B C} = \vec{B D^{'}}$ .

Ta có: $\vec{B B^{'}} + \vec{C D} + \vec{A D} = \vec{B B^{'}} + \vec{B A} + \vec{B C} = \vec{B D^{'}}$ .

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về Định luật III Newton để giải thích: Lực tác dụng và phản lực là hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

a) $\vec{B N}$ và $\vec{D M}$ là hai vectơ đối nhau;

b) $\vec{S D} - \vec{B N} - \vec{C M} = \vec{S C}$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để chứng minh: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu là $- \vec{a}$ .

b) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên $A B = C D$ , AB//CD. Suy ra $B M = D N$ (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD) và BM//DN. Do đó, tứ giác DMBN là hình bình hành, do đó, $B N = D M$ và BN//DM. Hai vectơ $\vec{B N}$ và $\vec{D M}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên $\vec{B N}$ và $\vec{D M}$ là hai vectơ đối nhau.

b) Theo a ta có: $\vec{B N} = - \vec{D M}$ .

Do đó, $\vec{S D} - \vec{B N} - \vec{C M}$

$= \vec{S D} + \vec{D M} + \vec{M C} = \vec{S M} + \vec{M C} = \vec{S C}$ .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để giải thích: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu là $- \vec{a}$ .

Lời giải chi tiết:

Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.