Giải mục 2 trang 5,6,7

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hàm số $y=f\left(x\right)=-\frac{1}{8}{x}^3+\frac{3}{2}x+2$ có đồ thị cho ở hình 1.3

a) Giải phương  trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$

b) Dựa vào đồ thị, só sánh $f(-2)$ với các giá trị khi $x\in (-3;-1)$

c) Dựa vào đồ thị, só sánh $f\left(2\right)$ với các giá trị khi  $x\in \left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$

Phương pháp giải:

a) Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ rồi giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$

b) Dựa vào đồ thị hàm số rồi giải

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{3}{8}{x}^2+\frac{3}{2}$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{3}{8}{x}^2+\frac{3}{2}=0$

$\Rightarrow x^2=4$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}x=2\\ x=-2\end{array}$

b) Dựa vào đồ thị, giá trị của $f(-2)$ luôn bé  hơn các giá trị $f\left(x\right)$ khi $x\in (-3;-1)$

c) Dựa vào đồ thị, giá trị của $f\left(2\right)$luôn lớn hơn các giá trị$f\left(x\right)$ khi $x\in \left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Chỉ ra một điểm cực đại, một điểm cực tiểu của đồ thị hàm số được cho ở hoạt động 3

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa về cực trị:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0\in (a;b)$

Nếu tồn tại $h>0$sao cho $f\left(x\right)<f\left(x_0\right)$với mọi $x\in (x_0-h;x_0+h)\subset (a;b)$và $x\ne 0$thì ta nói hàm số đạt cực đại tại $x_0$

Nếu tồn tại $h>0$sao cho $f\left(x\right)>f\left(x_0\right)$ với mọi $x\in (x_0-h;x_0+h)\subset (a;b)$và $x\ne 0$thì ta nói hàm số đạt tiểu đại tại $x_0$

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa, ta có thể chọn$h=1$ ta có, $x_0-h=-3$và $x_0+h=-1$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

$f\left(x\right)>f(-2)$, với$\forall x\in (-3;-1)\setminus \{-2\}$

Suy ra $x_0=-2$  là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Theo định nghĩa, ta có thể chọn $h=\frac{1}{2}$ ta có, $x_0-h=\frac{3}{2}$ và$x_0+h=\frac{5}{2}$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có

$f\left(x\right)<f\left(2\right)$ với $\forall x\in \left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)\setminus \left\{2\right\}$

Suy ra $x_0=2$ là điểm đại của đồ thị hàm số

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hàm số ở hoạt động 3. Xác định dấu của đạo hàm ở các ô  tương ứng với thuộc các khoảng trong bảng 1.2. Nêu mỗi liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, nếu đồ thị hàm số$f\left(x\right)$ đi xuống thì $f^{\prime }\left(x\right)$mang dấu (-)và ngược lại, nếu đồ thị hàm số$f\left(x\right)$ đi lên thì $f^{\prime }\left(x\right)$ mang dấu (+).

Nhìn vào điểm cực trị trên bảng biến thiên rồi nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm là: Nếu đạo hàm có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-3;3\right]$và có đồ thị hàm số như hình 1.4. Hãy xác định các điểm cực trị của hàm số trên khoảng$\left(-3;3\right)$

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số có 3 điểm cực trị là-1;1;2

Với điểm có cực trị là -1 thì giá trị cực trị là 1

Với điểm có cực trị là 1 thì giá trị cực trị là -3

Với điểm có cực trị là 2 thì giá trị cực trị là 3

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{3x+1}{x-2}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$

Bước 2:  Lập bảng biến thiên

Bước 3: Xác định cực trị của hàm số

Lời giải chi tiết:

Hàm số trên xác định trên $R/\left\{2\right\}$

Ta có:  $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{{(x-2)}^2}$

 $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-7}{{(x-2)}^2}$

Vì  $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-7}{{(x-2)}^2}<0$ với $x\in R/\left\{2\right\}$

Nên hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{3x+1}{x-2}$ không có cực trị.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại bài toán Khởi động ban đầu bài học, hãy lập bảng biến thiên của hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{30x}{x^2+2}$trên khoảng $(0;+\infty )$

Khi đó, cho biết hàm nồng độ thước trong máu  :

a) Tăng trong khoảng thời gian nào

b) Đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm 

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $C^{\prime }\left(x\right)$

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Tính hàm nồng độ thước trong máu tăng trong khoảng thời gian nào là tính hàm số $C\left(x\right)$ tăng trong khoảng nào hay hàm số $C\left(x\right)$đồng biến trong khoảng nào

Bước 4: Nồng độ thước máu đạt cực đại là bao nhiêu trong 6 phút sau khi tiêm là giá trị cực đại của hàm số $C\left(x\right)$ trong khoảng $(0;6)$

Lời giải chi tiết:

Hàm số trên xác định trên R

Ta có: $y^{\prime }=C^{\prime }\left(x\right)=\frac{30(x^2+2)-30x.2x}{{(x^2+2)}^2}$

     $=\frac{-30x^2+60}{{(x^2+2)}^2}$

Xét $y^{\prime }=0$ $\Rightarrow -30x^2+60=0$ $\iff x=\sqrt{2}$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có :

a) Hàm số $C\left(x\right)$đồng biến trên khoảng $(0;7,5\sqrt{2})$hay nồng độ thước máu tăng từ sau khi tiêm đến $7,5\sqrt{2}$phút sau.

b) Hàm số $C\left(x\right)$ đạt giá trị cực đại tại $x=\sqrt{2}$hay nồng độ thức máu đạt giá trị cực đại sau $\sqrt{2}$ phút