Giải mục 2 trang 5, 6, 7

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không.

a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int kf\left(x\right)dx$ và $k\int f\left(x\right)dx$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)\Rightarrow k{F}^{\prime }\left(x\right)=kf\left(x\right)$.

Vậy kF(x) là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Ta có: $G\left(x\right)=kH\left(x\right)\Rightarrow G^{\prime }\left(x\right)=k{H}^{\prime }\left(x\right)$.

Lại có: $G^{\prime }\left(x\right)=kf\left(x\right)\iff k{H}^{\prime }\left(x\right)=kf\left(x\right)\iff H^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Vậy H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) $\int kf\left(x\right)dx=kF\left(x\right)+a$.

$k\int f\left(x\right)dx=k\left(F\right(x)+b)=kF\left(x\right)+kb$.

Vậy $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx=kF\left(x\right)+C$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng tỏ rằng $\int (n+1)x^{n}dx=n^{n+1}+C$ với $n$ là số nguyên dương.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa và tính chất của nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Do ${\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)}^{\prime }=x^n$ nên $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^n$ trên $R$.

Suy ra $\int x^{n}dx=\frac{n^{n+1}}{n+1}+C$.

Vậy $\int (n+1)x^{n}dx=(n+1).\int x^{n}dx$

$=(n+1).\frac{n^{n+1}}{n+1}+C=n^{n+1}+C$.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?

b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int \left[f\right(x)+g(x\left)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) nên F(x) + G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) $G\left(x\right)=H\left(x\right)–F\left(x\right)$

$\Rightarrow G^{\prime }\left(x\right)=H^{\prime }\left(x\right)–F^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)–f^{\prime }\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Vậy G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) $\int \left[f\right(x)+g(x\left)\right]dx=H\left(x\right)+C$.

$\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+a+G\left(x\right)+b=H\left(x\right)+C$.

Vậy $\int \left[f\right(x)+g(x\left)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm $\int (2x^2-3x+5)dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

$\int (2x^2-3x+5)dx=\int 2x^{2}dx-\int 3xdx+\int 5dx$

$=\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+5x+C$.