Giải mục 2 trang 50, 51, 52 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ3

Giả sử thiết bị tại $F_{2}$ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại $F_{1}$ là 2 giây và vận tốc âm thanh là $343$ m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới $F_{1}, F_{2}$ .

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn $M F_{1} - M F_{2} = 686$ (m) hay không?

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới $F_{1}, F_{2}$ là: $M F_{1}, M F_{2}$ với M là điểm đặt thiết bị âm thanh.

Rõ ràng $M F_{1} > M F_{2}$ do thiết bị tại $F_{2}$ nhận được tín hiệu sớm hơn.

b) Có liên quan.

Gọi t là thời gian thiết bị tại $F_{2}$ nhận được tín hiệu.

Ta có: $M F_{2} = t .343$ .

Tại $F_{1}$ , thời gian thiết bị nhận được tín hiệu là: $t + 2$ .

$\Rightarrow M F_{1} = (t + 2) .343$

$\Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = (t + 2) .343 - t .343$

$= 2.343 = 686$ .

Vậy tập hợp các điểm M mà tại đó phát ra tín hiệu âm thanh để thiết bị tại $F_{2}$ nhận được sớm hơn 2 giây thỏa mãn $M F_{1} - M F_{2} = 686$ .

CH

Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Lời giải chi tiết:

Giả sử $M F_{1} > M F_{2}$ , ta có:

$| M F_{1} - M F_{2} | = M F_{1} - M F_{2}$

$= M F_{1} + F_{1} F_{2} - (M F_{2} + F_{2} F_{1})$ .

Mà $M F_{2} + F_{2} F_{1} > M F_{1}$

$\Rightarrow | M F_{1} - M F_{2} | < M F_{1} + F_{1} F_{2} - M F_{1}$

$= F_{1} F_{2}$ .

Hay $2 a < 2 c \Leftrightarrow a < c$ .

LT3

Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Phương pháp giải:

Ta cần chỉ ra các điểm A, B, C, D thỏa mãn:

$| A M - A N | = | B M - B N |$

$= | C M - C N | = | D M - D N | < M N$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: AM = BM = CN = DN, AN = BN = CM = DM. Từ đó suy ra:

$| A M - A N | = | B M - B N |$

$= | C M - C N | = | D M - D N |$ .

Và $| A M - A N | < M N$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường hyperbol với M, N là hai tiêu điểm.

HĐ4

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của $F_{1} F_{2}$ , tia Ox trùng tia $O F_{2}$ (H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ . Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi $| \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} | = 2 a$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $M F_{1} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}}, M F_{2} = \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$ . Vậy để điểm M thuộc Hyperbol khi và chỉ khi $| M F_{1} - M F_{2} | = 2 a$ hay $| \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} | = 2 a$ .

LT4

Cho (H): $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Phương pháp giải:

Tìm $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $c = \sqrt{144 + 25} = 13$ .

Do đó (H) có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 13; 0)$ , $F_{2} (13; 0)$ và có tiêu cự bằng $2 c = 26$ .