Giải mục 2 trang 50, 51

HĐ 3

a) Quan sát điểm $M\left(x;y\right)$ thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng $x\le -a$ hoặc $x\ge a$

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó $a>0,b>0$. Khi đó ta có:

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh $P\left(-a;b\right),Q\left(a;b\right),R\left(a;-b\right),S-\left(a;b\right).$

+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình $y=-\frac{b}{a}x,y=\frac{b}{a}x$ được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm $M\left(x;y\right)$ thuộc hypebol (H) thì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Vì $\frac{y^2}{b^2}\ge 0\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}\ge \frac{y^2}{b^2}+1\Rightarrow x^2\ge a^2\ge [\begin{array}{c}x\ge a\\ x\le -a\end{array}$

b) Ta có: $P\left(-a;b\right),R\left(a;-b\right)\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\left(2a;-2b\right)$

Chọn $\left(b;a\right)$ là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: $PR:b\left(x+a\right)+a\left(y-b\right)=0\iff bx+ay=0$ hay $PR:y=-\frac{b}{a}x$

Ta có: $Q\left(a;b\right),S-\left(a;b\right)\Rightarrow \overrightarrow{QS}=\left(-2a;-2b\right)$

Chọn $\left(b;-a\right)$ là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: $QS:b\left(x-a\right)-a\left(y-b\right)=0\iff bx-ay=0$ hay $QS:y=\frac{b}{a}x$

Luyện tập

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là $A_2\left(5;0\right)$ và một đường tiệm cận là $y=-3x$

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó $a>0,b>0$. Khi đó ta có:

+ 2 đỉnh là $A_1\left(-a;0\right),A_2\left(a;0\right)$

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình $y=-\frac{b}{a}x,y=\frac{b}{a}x$

Lời giải chi tiết:

+ Ta có hypebol có đỉnh $A_2(a;0)=\left(5;0\right)\Rightarrow a=5$

+ Hypebol có đường tiệm cận là $y=-3x\Rightarrow \frac{b}{a}=3\Rightarrow b=3a=15$

Vậy phương trình hypebol là: $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{15}^2}=1$