Giải mục 2 trang 51, 52, 53 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 4

Cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ một vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ cùng phương (hình 5a,b)

b) $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương (hình 5c,d)

c) $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ vuông góc (hình 5d)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ ta có

a) $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ cùng phương thì hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song

b) $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương thì hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau

c) $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ vuông góc thì hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ vuông góc

Thực hành 4

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $d_{1} : x - 5 y + 9 = 0$ và $d_{2} : 10 x + 2 y + 7 = 10$

b) $d_{1} : 3 x - 4 y + 9 = 0$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \end{cases}$

c) $d_{1} : {\begin{cases} x = 5 + 4 t \\ y = 4 + 3 t \end{cases}$ và $d_{2} : {\begin{cases} x = 1 + 8 t \\ y = 1 + 6 t \end{cases}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng

Bước 2:

+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.

=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.

2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d2.

+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng

Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.

=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm

Lời giải chi tiết:

a) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; - 5), \vec{n_{2}} = (10; 2)$

Ta có $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.10 + (- 5) .2 = 0$ nên $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x - 5 y + 9 = 0 \\ 10 x + 2 y + 7 = 10 \end{cases}$ ta được nghiệm ${\begin{cases} x = - \frac{3}{52} \\ y = \frac{93}{52} \end{cases}$

Suy ra hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại $M (- \frac{3}{52}; \frac{93}{52})$

b) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (3; - 4), \vec{n_{2}} = (3, - 4)$

$\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A (1; 1)$ thuộc $d_{2}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{1}$ , ta được $3.1 - 4.1 + 9 = 8 \neq 0$ , suy ra A không thuộc đường thẳng $d_{1}$

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song

c) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (3; - 4), \vec{n_{2}} = (6; - 8)$

Ta có $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 3. (- 8) - (- 4) .6 = 0$ suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm $A (1; 1)$ thuộc $d_{2}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{1}$ , ta được ${\begin{cases} 1 = 5 + 4 t \\ 1 = 4 + 3 t \end{cases} \Leftrightarrow t = - 1$ , suy ra A thuộc đường thẳng $d_{1}$

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trùng nhau

Vận dụng 4

Viết phương trình đường thẳng $d_{1}$ :

a) Đi qua điểm $A (2; 3)$ và song song với đường thẳng $d_{2} : x + 3 y + 2 = 0$

b) Đi qua điểm $B (4; - 1)$ và vuông góc với đường thẳng $d_{3} : 3 x - y + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số

Lời giải chi tiết:

a) $d_{1}$ song song với đường thẳng $d_{2} : x + 3 y + 2 = 0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_{2}$ làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 3)$

$d_{1}$ đi qua điểm $A (2; 3)$ nên ta có phương trình tổng quát

$(x - 2) + 3. (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 11 = 0$

b) $d_{1}$ vuông góc với đường thẳng $d_{3} : 3 x - y + 1 = 0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_{3}$ làm vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (3; - 1)$

$d_{1}$ đi qua điểm $B (4; - 1)$ nên ta có phương trình tham số: ${\begin{cases} x = 4 + 3 t \\ y = - 1 - t \end{cases}$