Giải mục 2 trang 52, 53, 54

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 52 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Nhắc lại các khái niệm liên quan đến vectơ trong mặt phẳng:

- Độ dài của vectơ.

- Giá của vectơ.

- Hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng.

- Hai vectơ bằng nhau.

- Hai vectơ đối nhau.

- Vectơ-không.

Phương pháp giải:

Các khái niệm liên quan đến vectơ trong không gian có trong Sách giáo khoa trang 52.

Lời giải chi tiết:

- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ được kí hiệu là $|\vec{a}|$.

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ bằng nhau thì ta viết là $\vec{a}=\vec{b}$.

- Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Vectơ đối của $\vec{a}$ được kí hiệu là $-\vec{a}$.

- Vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Trong các vectơ khác $\vec{0}$, có điểm đầu và̀ điểm cuối là các đỉnh của hình hộp, hãy chỉ ra những vectơ:

- Cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$;

- Bä̀ng vectơ $\overrightarrow{AB}$;

- Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

b) Tính độ dài của  vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ trong trường hợp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp đứng, có $A{A}^{\prime }=$ a, $AB=b,BC=c$ và $\widehat{ABC}={120}^o$.

Phương pháp giải:

a) Xác định các vectơ theo yêu cầu đề bài dựa trên lý thuyết về vectơ.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ bằng nhau thì ta viết là $\vec{a}=\vec{b}$.

b) Sử dụng công thức và định lý để tính độ dài của vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp:

- Cùng phương với  vectơ $\overrightarrow{AB}$ :$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$,$\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$,$\overrightarrow{BA}$

- Bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ :$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$

- Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$: $\overrightarrow{B^{\prime }B}$,$\overrightarrow{C^{\prime }C}$,$\overrightarrow{D^{\prime }D}$,$\overrightarrow{A^{\prime }A}$

b) Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$:

- Vì $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp đứng, suy ra tam giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$. Từ đó ta có:

$\begin{array}{c}A{C}^{\prime }=\sqrt{{\left(A{A}^{\prime }\right)}^2+{\left(A^{\prime }{C}^{\prime }\right)}^2}=\sqrt{a^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+(A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos ({120}^{\circ })}\\ A{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2bc.\left(-\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{a^2+b^2+c^2-bc}\end{array}$

Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$là: $\sqrt{a^2+b^2+c^2-bc}$