Giải mục 2 trang 52, 53

HĐ2

Cho điểm $M (x; y)$ nằm trên hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a) Chứng minh rằng $F_{1} M^{2} - F_{2} M^{2} = 4 c x$

b) Giả sử điểm $M (x; y)$ thuộc nhánh đi qua $A_{1} (- a; 0)$ (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất $M F_{2} - M F_{1} = 2 a$ đã biết để chứng minh $M F_{2} + M F_{1} = - 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $M F_{1} = - a - \frac{c}{a} x_{0}; M F_{2} = a - \frac{c}{a} x_{0}$

b) Giả sử điểm $M (x; y)$ thuộc nhánh đi qua $A_{2} (a; 0)$ (Hình 5b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất $M F_{1} - M F_{2} = 2 a$ đã biết để chứng minh $M F_{2} + M F_{1} = 2 \frac{c x}{a}$ . Từ đó, chứng minh các công thức: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x_{0}; M F_{2} = - a + \frac{c}{a} x_{0}$

Lời giải chi tiết:

a) Tính $M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}$

Ta có: $\vec{F M_{1}} (x + c; y); \vec{F_{2} M} (x - c; y)$

$\Rightarrow F_{1} M^{2} = (x + c)^{2} + y^{2}; M {F_{2}}^{2} = (x - c)^{2} + y^{2}$

$\Rightarrow F_{1} M^{2} - F_{2} M^{2} = (x + c)^{2} - (x - c)^{2} = 4 c x_{0}$

b) Khi điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_{1} (- a; 0)$ ( $M F_{2} - M F_{1} = 2 a$ ),

$\begin{array}{l} M F_{1} + M F_{2} = \frac{M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}}{M F_{1} - M F_{2}} = - \frac{2 c}{a} x \\ M F_{1} = \frac{(- \frac{2 c}{a} x) - 2 a}{2} = - a - \frac{c}{a} x \\ M F_{2} = \frac{(- \frac{2 c}{a} x) + 2 a}{2} = a - \frac{c}{a} x \end{array}$

c) Khi điểm $M (x; y)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_{2} (a; 0)$ ( $M F_{1} - M F_{2} = 2 a$ ),

$\begin{array}{l} M F_{1} + M F_{2} = \frac{M {F_{1}}^{2} - M {F_{2}}^{2}}{M F_{1} - M F_{2}} = \frac{2 c}{a} x \\ M F_{1} = \frac{\frac{2 c}{a} x + 2 a}{2} = a + \frac{c}{a} x \\ M F_{2} = \frac{\frac{2 c}{a} x - 2 a}{2} = - a + \frac{c}{a} x \end{array}$

Thực hành 2

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ trên hypebol (H): $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Phương pháp giải:

Cho điểm $M (x; y)$ nằm trên hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ là:

$M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x |; M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x |$

Lời giải chi tiết:

Hypebol (H): $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ có $a = 8, b = 6$ suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 10$ .

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ là:

$M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x | = | 8 + \frac{3}{4} x |; M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x | = | 8 - \frac{3}{4} x |$

Vận dụng 2

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh $A_{2} (a; 0)$ trên hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Phương pháp giải:

Cho điểm $M (x; y)$ nằm trên hypebol (H): $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M (x; y)$ là:

$M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x |; M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x |$

Lời giải chi tiết:

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $A_{2} (a; 0)$ trên (H) là:

$M F_{1} = | a + \frac{c}{a} x | = | a + \frac{c}{a} a | = a + c; M F_{2} = | a - \frac{c}{a} x | = | a - \frac{c}{a} a | = c - a .$