Giải mục 2 trang 53, 54, 55

HĐ2

Quan sát Hình 3 và cho biết:

a)      Đường thẳng $d$ có song song với BC hay không?

b)     Bằng cách đếm số ô vuông, dự đoán xem các tỉ số $\frac{AM}{MB},\frac{AN}{NC}$ có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Quan sát hình và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a)      Quan sát hình ta thấy $d\parallel BC$.

b)     Ta thấy:

Độ dài AM là 2 lần cạnh của một ô vuông.

Độ dài MB là cạnh của một ô vuông.

$\Rightarrow \frac{AM}{MB}=\frac{2}{1}=2$

Độ dài AN là 2 lần đường chéo của một ô vuông.

Độ dài NC là độ dài đường chéo của một ô vuông.

$\Rightarrow \frac{AN}{NC}=\frac{2}{1}=2$

Vậy $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.

LT1

Trong Hình 4, chứng tỏ rằng nếu $MN\parallel BC$ thì $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lý Thales để chứng minh hai tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC với $MN\parallel BC$, ta có $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$ (định lý Thales).

LT2

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đường thẳng qua G song song với BC lần lượt cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Thales để chứng minh $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi AD là đường trung tuyến của tam giác ABC (D $\in$ BC)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$ AD hay $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ .

Xét tam giác ABD với MG // BD, ta có: 

$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ (Định lí Thales) (1)

Tương tự, xét 

tam giác ADC với GN // DC, ta có: 

$\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ (Định lí Thales) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$ (đpcm).

HĐ3

Trong Hình 7, cho AM = 1, MB = 2, AN = 1,5, NC = 3.

a)      So sánh các tỉ số $\frac{AM}{MB};\frac{AN}{NC}$.

b)     Đường thẳng $d$ (đi qua M, N) có song song với BC hay không?

Phương pháp giải:

a)      Dựa vào số liệu đã cho, tính và so sánh các tỉ số.

b)     Quan sát hình vẽ và cho biết đường thẳng $d$ (đi qua M, N) có song song với BC hay không.

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}$

$\frac{AN}{AC}=\frac{1,5}{3}=\frac{1}{2}$

Vậy $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d, cắt AC tại C’.

Xét ∆ABC’ với MN // BC’, ta có:

$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC\text{'}}$ (định lí Thalès).

Mà theo câu a, $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ nên ta có $\frac{AN}{NC}=\frac{AN}{NC\text{'}}$

Suy ra NC = NC’ hay C và C’ là hai điểm trùng nhau.

Do đó C nằm trên đường thẳng đi qua B và song song với đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d (đi qua M, N) song song với BC.

LT3

Cho tam giác ABC vuông tại A có CA = 4, CB = 5. Giả sử M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh CA, CB sao cho CM = 1, CN = 1,25. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Phương pháp giải:

-         Sử dụng định lý Thales đảo để chứng minh $MN\parallel AB$.

-         Chứng minh $MN\perp AC$

-         Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh MN.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có

$\begin{array}{c}\frac{CM}{CA}=\frac{1}{4}\\ \frac{CN}{CB}=\frac{1,25}{5}=\frac{1}{4}\\ \Rightarrow \frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}\end{array}$

$\Rightarrow MN\parallel AB$ (Định lý Thales đảo)

Mà $AB\perp AC$ nên $MN\perp AC$ hay tam giác MNC vuông tại M

Xét tam giác MNC vuông tại M có: $MC=1,NC=1,25$.

Theo định lý Pytago ta có:

$\begin{array}{c}M{N}^2+M{C}^2=N{C}^2\\ M{N}^2+1^2=1,{25}^2\\ M{N}^2=1,{25}^2-1^2\\ M{N}^2=0,5625\\ MN=0,75\end{array}$

Vậy MN = 0,75.