Giải mục 2 trang 53, 54, 55

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình sau:

a)    ${\left(x-2\right)}^2=0$

b)   ${\left(x-1\right)}^2=9$

c)    ${\left(x-3\right)}^2=-1$

Phương pháp giải:

$x^2=a(a\ge 0)$

$x=a$ hoặc $x=-a$

Lời giải chi tiết:

a)    ${\left(x-2\right)}^2=0$

$\begin{array}{c}x-2=0\\ x=2\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2$.

b)   ${\left(x-1\right)}^2=9$

$x-1=3$ hoặc $x-1=-3$

$x=4$                $x=-2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x_1=4;x_2=-2$

c)    ${\left(x-3\right)}^2=-1$

Vì $(x-3{)}^2\ge 0\forall x\in R$ và $-1<0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải phương trình sau: ${\left(x-4\right)}^2=11$

Phương pháp giải:

$x^2=a(a\ge 0)$

$x=a$ hoặc $x=-a$

Lời giải chi tiết:

${\left(x-4\right)}^2=11$

$x-4=\sqrt{11}$ hoặc $x-4=-\sqrt{11}$

$x=4+\sqrt{11}$            $x=4-\sqrt{11}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x_1=4+\sqrt{11}$ và $x_2=4-\sqrt{11}$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều

Xét phương trình $2x^2-4x-16=0$ (1)

Chia 2 vế của phương trình (1), ta được phương trình $x^2-2x-8=0$ (2)

a)    Tìm số thích hợp cho “?” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${\left(x-?\right)}^2=?$.

b)   Từ đó, hãy giải phương trình 2.

c)    Nêu các nghiệm của phương trình (1).

Phương pháp giải:

Viết lại số hạng $2x=2.x.1$, phương trình (2) có dạng:

 $\begin{array}{c}{x}^2-2.x.1+1-9=0\\ {\left(x-1\right)}^2=9\end{array}$

Sau đó giải phương trình vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

a)

 $\begin{array}{c}{x}^2-2x-8=0\\ \left(x^2-2.x.1+1\right)-9=0\\ {\left(x-1\right)}^2=9\end{array}$

Vậy "?" thứ nhất là 1, "?" thứ hai là 9.

b) ${\left(x-1\right)}^2=9$

$x-1=3$ hoặc $x-1=-3$

$x=4$                $x=-2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x_1=4$ và $x_2=-2$

c) $2x^2-4x-16=0$

$\begin{array}{c}2\left(x^2-2x-8\right)=0\\ x^2-2x-8=0\end{array}$

Từ phương trình (1) ta đưa được về phương trình (2), nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1) là $x_1=4$ và $x_2=-2$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình:           

a) $3x^2-x-0,5=0$

b) $4x^2+10x+15=0$

c) $-x^2+x-\frac{1}{4}=0$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình với $\Delta =b^2-4ac$.

Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.$

Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) $3x^2-x-0,5=0$

Phương trình có các hệ số $a=3;b=-1;c=-0,5$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.3.}(-0,5)=7>0$

Do $\Delta >0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{7}}{2.3}=\frac{1-\sqrt{7}}{6};x_2=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{7}}{2.3}=\frac{1+\sqrt{7}}{6}$

b) $4x^2+10x+15=0$

Phương trình có các hệ số $a=4;b=10;c=15$

$\Delta ={10}^2-\mathrm{4.4.15}=-140<0$

Do $\Delta <0$ nên phương trình vô nghiệm.

c) $-x^2+x-\frac{1}{4}=0$

Phương trình có các hệ số $a=-1;b=1;c=-\frac{1}{4}$

$\Delta =1^2-4.\left(-1\right).(-\frac{1}{4})=0$

Do $\Delta =0$ nên phương trình có nghiệm kép là:

$x_1=x_2=\frac{-1}{2.\left(-1\right)}=\frac{1}{2}$

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều

Xét phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ với $b=2b^{\prime }$.

a) Đặt ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$, chứng tỏ rằng $\Delta =4{\Delta }^{\prime }.$

b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: ${\Delta }^{\prime }>0;{\Delta }^{\prime }=0;{\Delta }^{\prime }<0.$

Phương pháp giải:

a) Thay $b=2b^{\prime }$ vào $\Delta =b^2-4ac$ rồi thu gọn.

b) Xét dấu của $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$.

Lời giải chi tiết:

a) Thay $b=2b^{\prime }$vào $\Delta =b^2-4ac$ ta được:

$\Delta =b^2-4ac=(2b^{\prime }{)}^2-4ac=4b{}^{\prime 2}-4ac=4\left(b{}^{\prime 2}-ac\right)=4{\Delta }^{\prime }$ (vì ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$)

$\Rightarrow$ đpcm

b) Vì $\Delta =4{\Delta }^{\prime }\Rightarrow {\Delta }^{\prime }=\frac{\Delta }{4}$ nên $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$cùng dấu. Vậy:

Nếu ${\Delta }^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a};x_1=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$

Nếu ${\Delta }^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}.$

Nếu ${\Delta }^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình:           

a) $x^2-6x-5=0$

b) $-3x^2+12x-35=0$

c) $-25x^2+30x-9=0$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình với $b=2b^{\prime }$ và ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$.

Nếu ${\Delta }^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a};x_1=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$

Nếu ${\Delta }^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}.$

Nếu ${\Delta }^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) $x^2-6x-5=0$

Phương trình có các hệ số $a=1;b=-6;c=5$. Do $b=-6$ nên $b^{\prime }=-3$.

${\Delta }^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.5=4>0$

Do ${\Delta }^{\prime }>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{4}}{1}=1;x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{4}}{1}=5$

b) $-3x^2+12x-35=0$

Phương trình có các hệ số $a=-3;b=12;c=-35$. Do $b=12$ nên $b^{\prime }=6$.

${\Delta }^{\prime }=6^2-\left(-3\right).\left(-35\right)=-69<0$

Do ${\Delta }^{\prime }<0$ nên phương trình vô nghiệm.

c) $-25x^2+30x-9=0$

Phương trình có các hệ số $a=-25;b=30;c=-9$. Do $b=30$ nên $b^{\prime }=15$.

${\Delta }^{\prime }={15}^2-\left(-25\right).(-9)=0$

Do ${\Delta }^{\prime }=0$ nên phương trình có nghiệm kép là: $x_1=x_2=\frac{-15}{-25}=\frac{3}{5}$