Giải mục 2 trang 53, 54

HĐ1

Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.

b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC

Phương pháp giải:

a) Chứng minh: ∆AHI = ∆IBA (g.c.g).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh: ∆AHD = ∆BIC (góc - góc).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\widehat{BAI}=\widehat{AIH}$ (hai góc so le trong).

Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.

Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{HAI}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AHI và ∆IBA có:

$\widehat{BAI}=\widehat{AIH}$ (chứng minh trên);

Cạnh AI chung;

 $\widehat{AIB}=\widehat{HAI}$ (hai góc so le trong).

Do đó ∆AHI = ∆IBA (g.c.g).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\hat{C}=\hat{D}$.

Vì ∆AHD và ∆BIC có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BIC}={90}^o$ và $\hat{C}=\hat{D}$ nên ${90}^o-\hat{C}={90}^o-\widehat{BIC}\iff \widehat{DAH}=\widehat{CBI}$ 

Xét ∆AHD và ∆BIC có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BIC}={90}^o$ (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);

$AH=BI$ (chứng minh trên

$\widehat{DAH}=\widehat{CBI}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆AHD = ∆BIC (góc - cạnh - góc).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

LT 2

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng $\hat{A}=\hat{B}=\widehat{D_1}$. Chứng minh rằng AD = BC.

Phương pháp giải:

Chứng minh ABCD là hình thang có $\hat{A}=\hat{B}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\hat{A}=\widehat{D_1}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

Mặt khác hình thang ABCD có $\hat{A}=\hat{B}$ nên ABCD là hình thang cân.

Do đó AD = BC (đpcm).

HĐ2

Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC. Từ đó suy ra AC = BD

Phương pháp giải:

Chứng minh: ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Xét ∆ACD và ∆BDC có

AD = BC (chứng minh trên);

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (chứng minh trên);

Cạnh CD chung.

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

LT 3

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).

a) Tứ giác DECB là hình gì?

b) Chứng minh BE = CD.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC

Suy ra DECB là hình thang.

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}$.

Hình thang DECB có $\hat{B}=\hat{C}$ nên tứ giác DECB là hình thang cân.

b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.

Do đó BE = CD (đpcm).