Giải mục 2 trang 54 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ . Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai $d$ của $(u_{n})$ : $u_{2} - u_{1}; u_{3} - u_{1}; u_{4} - u_{1}; . . .; u_{n} - u_{1}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức $u_{n + 1} = u_{n} + d$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{2} - u_{1} = d \\ u_{3} - u_{1} = (u_{2} + d) - u_{1} = u_{2} + d - u_{1} = (u_{2} - u_{1}) + d = d + d = 2 d \\ u_{4} - u_{1} = (u_{3} + d) - u_{1} = u_{3} + d - u_{1} = (u_{3} - u_{1}) + d = 2 d + d = 3 d \\ ⋮ \\ u_{n} - u_{1} = (n - 1) d \end{array}$

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 54 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng $(a_{n})$ có $a_{1} = 5$ và $d = - 5$ ;

b) Cấp số cộng $(b_{n})$ có $b_{1} = 2$ và $b_{10} = 20$ .

Phương pháp giải:

Thay vào công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát là: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d, n \geq 2$ .

Lời giải chi tiết:

a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng $(a_{n})$ là:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 5 + (n - 1) . (- 5) = 5 - 5 n + 5 = 10 - 5 n$ .

b) Giả sử cấp số cộng $(b_{n})$ có công sai $d$ . Ta có:

$b_{10} = b_{1} + (10 - 1) d \Leftrightarrow 20 = 2 + 9 d \Leftrightarrow 9 d = 18 \Leftrightarrow d = 2$ .

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng $(b_{n})$ là:

$b_{n} = b_{1} + (n - 1) d = 2 + (n - 1) .2 = 2 + 2 n - 2 = 2 n$ .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 21 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng $(c_{n})$ có $c_{4} = 80$ và $c_{6} = 40$ .

Phương pháp giải:

Biểu diễn các số hạng của cấp số cộng theo $c_{1}$ số hạng đầu và công sai $d$ rồi giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

Giả sử cấp số cộng $(c_{n})$ có số hạng đầu $c_{1}$ và công sai $d$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} c_{4} = c_{1} + (4 - 1) d = c_{1} + 3 d \Leftrightarrow c_{1} + 3 d = 80 (1) \\ c_{6} = c_{1} + (6 - 1) d = c_{1} + 5 d \Leftrightarrow c_{1} + 5 d = 40 (2) \end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ${\begin{cases} c_{1} + 3 d = 80 \\ c_{1} + 5 d = 40 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} c_{1} = 140 \\ d = - 20 \end{cases}$

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng $(c_{n})$ là:

$c_{n} = c_{1} + (n - 1) d = 140 + (n - 1) . (- 20) = 140 - 20 n + 20 = 160 - 20 n$ .