Giải mục 2 trang 54

Hoạt động 2

Ta biết hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật. Quan sát một bể nuôi cá cảnh hình hộp chữ nhật (Hình 8.3). Xem mỗi cạnh của bể nuôi cá là hình ảnh thể hiện một đường thẳng. Hãy chỉ ra những đường thẳng tạo với $A{A}^{\prime }$ một góc ${90}^o$. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết vị trí tương đối của $A{A}^{\prime }$ và đường thẳng đã chỉ ra.

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng $a,b$ ta có thể lấy điểm $O$ thuộc đường thẳng $a$ kẻ đường thẳng $b^{\prime }$ song song với $b$. Khi đó $\left(a,b\right)=\left(a,b^{\prime }\right)$

Dựa vào hình chữ nhật để tìm ra các góc vuông liên quan đến cạnh $A{A}^{\prime }$

Lời giải chi tiết:

+) Ta có $A{A}^{\prime }\perp AB,A{A}^{\prime }\perp AD,A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime },A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }$ cắt các đường thẳng $AB,AD,A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime }$

+) Ta có $A{A}^{\prime }\perp CD,C^{\prime }{D}^{\prime },BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }$ chéo nhau với $CD,C^{\prime }{D}^{\prime },BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$

Luyện tập 2

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AD$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M$, song song với $AB$ và $CD$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt các cạnh $BD,CB,AC$ lần lượt tại $N,P,Q$ (Hình 8.5). Biết $MNPQ$ là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng $AB\perp CD$.

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng $a,b$ ta có thể lấy điểm $O$ thuộc đường thẳng $a$ kẻ đường thẳng $b^{\prime }$ song song với $b$. Khi đó $\left(a,b\right)=\left(a,b^{\prime }\right)$

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng $a,b$ là góc giữa hai đường thẳng $a^{\prime },b^{\prime }$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a,b$.

Chứng minh $AB//PQ,CD//MQ$. Suy ra $\left(AB,CD\right)=\left(PQ,MQ\right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\{\begin{array}{c}AB//\left(\alpha \right)\\ \left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=PQ\end{array}\Rightarrow AB//PQ$

Tương tự $CD//MQ$

Suy ra $\left(AB,CD\right)=\left(PQ,MQ\right)$. Mà $MNPQ$ là một hình chữ nhật nên $\widehat{MQP}={90}^o$

Vậy $\left(AB,CD\right)={90}^o\Rightarrow AB\perp CD$